数据结构——堆、堆排序和优先级队列（代码为Java版本）

目录

1. 二叉树的顺序存储

1.1 存储方式

1.2 下标关系

2. 堆（heap）

2.1 概念

2.2 操作 - 向下调整

2.3 操作 - 向上调整

2.4 操作 - 弹出堆顶元素

2.5 操作 - 向下调整实现堆排序

2.6 向下调整和向上调整的时间复杂度和空间复杂度对比

3. 堆的应用 - 优先级队列

3.1 概念

3.2 内部原理

3.3 操作-入队列

3.4 操作-出队列（优先级最高）

3.5 返回队首元素（优先级最高）

3.6 总结

4. java 中的优先级队列（PriorityQueue）

4.1 PriorityQueue的常用构造方法

4.2 PriorityQueue的扩容方法

4.3 Top-k问题

4.4 PriorityQueue中同一个类的对象之间的比较

4.5 分析PriorityQueue的offer方法

---

1. 二叉树的顺序存储

1.1 存储方式

使用数组保存二叉树结构，方式即将二叉树用层序遍历方式放入数组中。一般只适合表示完全二叉树，因为非完全二叉树会有空间的浪费。这种方式的主要用法就是堆的表示。

1.2 下标关系

前提：根结点从0开始算起

已知双亲(parent)的下标，则：左孩子(left)下标 = 2 * parent + 1;右孩子(right)下标 = 2 * parent + 2;
已知孩子（不区分左右）(child)下标，则：双亲(parent)下标 = (child - 1) / 2; 

2. 堆（heap）

接下来的所有代码根结点都是从0开始算起！！！

2.1 概念

（1）堆逻辑上是一棵完全二叉树

（2）堆物理上是保存在数组中

（3）满足任意结点的值都大于树中结点的值，叫做大堆，或者大根堆，或者最大堆

（4）反之，则是小堆，或者小根堆，或者最小堆

（5）堆的基本作用是，快速找集合中的最值

2.2 操作 - 向下调整

前提：左右子树必须已经是一个堆，才能调整。

说明：

• elem 代表存储堆的数组
• usedSize 代表数组中被视为堆数据的个数
• child 代表孩子的下标
• parent 代表父节点的下标

如何建堆：

具体的建堆代码和解析： 

将向下调整单独封装成一个方法：

就是找父结点下标，再找孩子的下标！ 

public class TestHeap {
    public int[] elem;
    public int usedSize;//已被使用的长度
 
    //做一个约定：初始化给个10个大小的int类型的数组，这里传进去的数组大小一定要一样大
    public TestHeap(){
        elem = new int[10];
 
    }
 
    //初始化数组
    //array数组的大小一定要为40个字节，做一个约定
    public void initElem(int[] array){
        for(int i = 0;i < array.length;i++){
            elem[i] = array[i];
            usedSize++;
        }
    }
 
    public void createHeap(){
        for(int parent = (usedSize - 1 -1) / 2;parent >= 0;parent--){
            shiftDown(parent,usedSize);
        }
    }
 
    /**
    *@Description:向下调整的代码
    *@Author:lxt
    *@Date:2023/10/24 15:08
    */
    private void shiftDown(int parent,int len){
        //找到左孩子结点的下标
        int child = 2 * parent + 1;
        while(child < len){//至少存在左孩子
            //比较左右孩子的大小
            //child + 1 < len是为了防止找右孩子的过程中越界
            if(child + 1 < len && elem[child] < elem[child + 1])
                child++;
            //父子结点的比较
            if(elem[child] > elem[parent]){
                int tmp = elem[parent];
                elem[parent] = elem[child];
                elem[child] = tmp;
                //如果有交换就要判断左子树或者右子树是不是也满足堆的要求
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;//找到左孩子的下标
            }else {
                break;
            }
        }
    }
 
 
}

2.3 操作 - 向上调整

就是找孩子下标，再找父结点的下标！

    /**
    *@Description:向上调整的算法
    *@Author:lxt
    *@Date:2023/10/24 15:47
    */
    public void shiftUp(int child){
        //找到父结点
        int parent = (child - 1) / 2;
        while (child > 0){
            //如果孩子结点大于父结点，就交换
            if(elem[child] > elem[parent]){
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                //父子结点的标记往上走
                child = parent;
                parent = (child - 1);
            }else {
                //如果没进入上面if，证明这个不用调整，是一个堆
                break;
            }
        }
    }
 
    //向堆插入元素
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            //扩容
            elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
        }
        //插到堆尾
        elem[usedSize++] = val;
        //开始向上调整
        shiftUp(usedSize - 1);
    }
 
    //判断是不是为满了
    public boolean isFull(){
        return usedSize == elem.length;
    }
 
    //写一个交换方法
    private void swap(int[] array,int i,int j){
        int tmp = array[i];
        array[i] = array[j];
        array[j] = tmp;
    }

2.4 操作 - 弹出堆顶元素

   //写一个交换方法
    private void swap(int[] array,int i,int j){
        int tmp = array[i];
        array[i] = array[j];
        array[j] = tmp;
    }
 
    //模拟优先队列，弹出堆顶元素后，重新再进行向下调整
    public void pop(){
        //先判断是否为空
        if(isEmpty()){
            return;
        }
        //如果不会空，代表要交换堆顶和最后一个结点
        swap(elem,0,usedSize - 1);
        usedSize--;
        //交换完后，进行向下调整
        shiftDown(0,usedSize);
    }
 
    /**
    *@Description:向下调整的代码
    *@Author:lxt
    *@Date:2023/10/24 15:08
    */
    private void shiftDown(int parent,int len){
        //找到左孩子结点的下标
        int child = 2 * parent + 1;
        while(child < len){//至少存在左孩子
            //比较左右孩子的大小
            //child + 1 < len是为了防止找右孩子的过程中越界
            if(child + 1 < len && elem[child] < elem[child + 1])
                child++;
            //父子结点的比较
            if(elem[child] > elem[parent]){
                int tmp = elem[parent];
                elem[parent] = elem[child];
                elem[child] = tmp;
                //如果有交换就要判断左子树或者右子树是不是也满足堆的要求
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;//找到左孩子的下标
            }else {
                break;
            }
        }
    }

2.5 操作 - 向下调整实现堆排序

思路和弹出堆顶元素相似！！！

//堆排序：不断让堆顶和最后一个结点交换，然后向下调整
    public void heapSort(){
        int end = usedSize - 1;
        while(end > 0){//下标为0的结点已经没有元素与之交换
            swap(elem,0,end);
            shiftDown(0,end);
            end--;
        }
    }
 
    /**
    *@Description:向下调整的代码
    *@Author:lxt
    *@Date:2023/10/24 15:08
    */
    private void shiftDown(int parent,int len){
        //找到左孩子结点的下标
        int child = 2 * parent + 1;
        while(child < len){//至少存在左孩子
            //比较左右孩子的大小
            //child + 1 < len是为了防止找右孩子的过程中越界
            if(child + 1 < len && elem[child] < elem[child + 1])
                child++;
            //父子结点的比较
            if(elem[child] > elem[parent]){
                int tmp = elem[parent];
                elem[parent] = elem[child];
                elem[child] = tmp;
                //如果有交换就要判断左子树或者右子树是不是也满足堆的要求
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;//找到左孩子的下标
            }else {
                break;
            }
        }
    }

2.6 向下调整和向上调整的时间复杂度和空间复杂度对比

这个时间复杂度是指建堆整个过程的时间复杂度，不是单指一个向下调整或者向上调整的时间复杂度！

（1）向下调整

（2）向上调整

3. 堆的应用 - 优先级队列

3.1 概念

在很多应用中，我们通常需要按照优先级情况对待处理对象进行处理，比如首先处理优先级最高的对象，然后处理次高的对象。最简单的一个例子就是，在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话。

在这种情况下，我们的数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)

3.2 内部原理

优先级队列的实现方式有很多，但最常见的是使用堆来构建。

3.3 操作-入队列

过程（以大堆为例）：
（1） 首先按尾插方式放入数组
（2）比较其和其双亲的值的大小，如果双亲的值大，则满足堆的性质，插入结束（其实就是向上调整）
（3）否则，交换其和双亲位置的值，重新进行 （2）、（3） 步骤
（4）直到根结点
图示：

    /**
    *@Description:向上调整的算法
    *@Author:lxt
    *@Date:2023/10/24 15:47
    */
    public void shiftUp(int child){
        //找到父结点
        int parent = (child - 1) / 2;
        while (child > 0){
            //如果孩子结点大于父结点，就交换
            if(elem[child] > elem[parent]){
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                //父子结点的标记往上走
                child = parent;
                parent = (child - 1);
            }else {
                //如果没进入上面if，证明这个不用调整，是一个堆
                break;
            }
        }
    }

3.4 操作-出队列（优先级最高）

为了防止破坏堆的结构，删除时并不是直接将堆顶元素删除，而是用数组的最后一个元素替换堆顶元素，然后通过向下调整方式重新调整成堆。

3.5 返回队首元素（优先级最高）

返回堆顶元素即可

3.6 总结

4. java 中的优先级队列（PriorityQueue）

关于PriorityQueue的使用注意：

（1）使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：

import java.util.PriorityQueue;

 （2）PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出ClassCastException一次。

（3）不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException。

（4）没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容。

（5）插入和删除元素的时间复杂度为O(logN)，也就是树的高度。

（6）PriorityQueue底层使用了堆数据结构。

（7）PriorityQueue默认情况下是小堆——即每次获取到的元素都是最小元素。

PriorityQueue implements Queue

4.1 PriorityQueue的常用构造方法

4.2 PriorityQueue的扩容方法

在集合中找扩容方法，就去找grow方法。

jdk1.8的源码：
 

   /**
     * Increases the capacity of the array.
     *
     * @param minCapacity the desired minimum capacity
     */
    private void grow(int minCapacity) {
        int oldCapacity = queue.length;
        // Double size if small; else grow by 50%
        int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ?
                                         (oldCapacity + 2) :
                                         (oldCapacity >> 1));
        // overflow-conscious code
        if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0)
            newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);
        queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);
    }
 
    private static int hugeCapacity(int minCapacity) {
        if (minCapacity < 0) // overflow
            throw new OutOfMemoryError();
        return (minCapacity > MAX_ARRAY_SIZE) ?
            Integer.MAX_VALUE :
            MAX_ARRAY_SIZE;
    }

优先级队列的扩容说明：

• 如果容量小于64时，是按照oldCapacity的2倍方式扩容的
• 如果容量大于等于64，是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的
• 如果容量超过MAX_ARRA_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容的

4.3 Top-k问题

Top-k问题：即求数据集合中前k个最大元素或者最小元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100位活跃玩家等。

对于Top-k问题，能想到的最简单最直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了，最佳方式就是用堆来解决，基本思路如下：

（1）用数据集合中的前k个元素来建堆

• 前k个最大的元素，则建小堆
• 前k个最小的元素，则建大堆

（2）用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比较完成之后，堆中剩余的k个元素就是所求的前k个最小或者最大的元素。

代码如下所示：

    public static int[] maxK(int[] arr,int k){
        int[] ret = new int[k];
        if(arr == null || k == 0){
            return ret;
        }
        Queue minHeap = new PriorityQueue<>(k);
        //1.遍历数组的前k个放到堆当中。时间复杂度：K*logK
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            minHeap.offer(arr[i]);
        }
        //2.遍历剩下的k-1个，每次和堆顶元素进行比较
        //堆顶元素小的时候，就出堆。时间复杂度：(N-k)*logk
        for (int i = k; i < arr.length; i++) {
            int val = minHeap.peek();
            if(val < arr[i]){
                minHeap.poll();
                minHeap.offer(arr[i]);
            }
        }
        //3.将堆内的三个元素依次交给ret数组
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret[i] = minHeap.poll();
        }
        return ret;
    }

4.4 PriorityQueue中同一个类的对象之间的比较

类去实现Comparable接口或者创建一个Compartor的实现类。

注意：

• equals方法是比较是否相同，返回值是true或者fals。
• compareTo方法是比较大小，返回值是正数、0或者负数。

（1）类实现Comparable接口

public class Student implements Comparable{
    public int age;
    public String name;
 
    public Student() {}
 
    public Student(int age, String name) {
        this.age = age;
        this.name = name;
    }
 
 
    @Override
    public int compareTo(Student o) {
        return this.age - o.age;
    }
}

（2）创建一个Compartor的实现类

    public static void main(String[] args) {
        Queue m = new PriorityQueue(new Comparator() {
            @Override
            public int compare(Student o1, Student o2) {
                return o1.age - o2.age;
            }
        });
        Student lisi = new Student(12, "lisi");
        Student zhangsan = new Student(13, "zhangsan");
        m.offer(lisi);
        m.offer(zhangsan);
        System.out.println(m.poll());
        System.out.println(m.poll());
    }

4.5 分析PriorityQueue的offer方法

为什么说PriorityQueue默认是小根堆呢？那我们就要去看下源码了！

    public boolean offer(E e) {
        if (e == null)
            throw new NullPointerException();
        modCount++;
        int i = size;
        if (i >= queue.length)
            grow(i + 1);
        size = i + 1;
        if (i == 0)
            queue[0] = e;
        else
            siftUp(i, e);
        return true;
    }
 
    private void siftUp(int k, E x) {
        if (comparator != null)
            siftUpUsingComparator(k, x);
        else
            siftUpComparable(k, x);
    }
 
    private void siftUpComparable(int k, E x) {
        Comparablesuper E> key = (Comparablesuper E>) x;
        while (k > 0) {
            int parent = (k - 1) >>> 1;
            Object e = queue[parent];
            if (key.compareTo((E) e) >= 0)
                break;
            queue[k] = e;
            k = parent;
        }
        queue[k] = key;
    }

由源码和上面的图片，我们可知，PriorityQueue默认就是小根堆！

我们又该如何将PriorityQueue改变为大根堆呢？

很简单！只要我们自己手动传入一个比较器，把比较器的内容改变和PriorityQueue默认的比较结果相反即可！

    public static void main(String[] args) {
        Queue m = new PriorityQueue<>(new Comparator() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                return o2 - o1;
            }
        });
        m.offer(10);
        m.offer(1000);
        System.out.println(m.poll());
        System.out.println(m.poll());
    }