• AM@两种余项型泰勒公式的对比和总结@常用函数的麦克劳林公式

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    abstract

    • 泰勒公式的两种余项型(Penao&Lagrange)泰勒公式的对比和总结
    • 常用的Maclaurin公式列举(Peano余项型为主)

    两种余项型泰勒公式的对比和总结

    • Taylor公式Lagrange型Peano项Note
      条件 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有 n n n阶连续导数, ( a , b ) (a,b) (a,b)内存在 n + 1 n+1 n+1阶导数 x = x 0 x=x_0 x=x0​处存在 n n n阶导数前者对 f ( x ) f(x) f(x)要求较高
      余项 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1, ξ \xi ξ是 x , x 0 x,x_0 x,x0​之间的一个数;或表示为 f ( n + 1 ) ( x 0 + θ ( x − x 0 ) ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta{(x-x_0)})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(x0​+θ(x−x0​))​(x−x0​)n+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1) R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)= o ( ( x − x 0 ) n ) o((x-x_0)^{n}) o((x−x0​)n)前者余项具体,后者仅表达了高阶无穷小
      用途可用于区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上,例如证明不等式或等式,估计逼近误差仅用于 x 0 x_0 x0​的邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0​),例如讨论极值,求解 x → x 0 x\to{x_0} x→x0​时的极限后者用在某些条件下的求极限问题上,可以带来方便

    • Lagrnage余项 R n ( x ) R_{n}(x) Rn​(x)中的 ξ \xi ξ,( ξ \xi ξ为 x , x 0 x,x_0 x,x0​间的一个数)可以表示为 x 0 + θ ( x − x 0 ) x_0+\theta(x-x_0) x0​+θ(x−x0​), θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in{(0,1)} θ∈(0,1)

      • 若 x 0 < x x_0x0​<x,则 ξ ∈ ( x 0 , x ) \xi\in{(x_0,x)} ξ∈(x0​,x), ξ \xi ξ所在区间的跨度(长度) Δ x = x − x 0 \Delta{x}=x-x_0 Δx=x−x0​可以表示为 ξ = x 0 + θ Δ x \xi=x_0+\theta\Delta{x} ξ=x0​+θΔx= x 0 + θ ( x − x 0 ) x_0+\theta(x-x_0) x0​+θ(x−x0​)(1),其中 θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1)
      • 若 x 0 > x x_0>x x0​>x,则 ξ ∈ ( x , x 0 ) \xi\in(x,x_0) ξ∈(x,x0​), ξ \xi ξ所在区间的跨度为 Δ x = x 0 − x \Delta{x}=x_0-x Δx=x0​−x可以表示为 ξ = x + θ Δ x \xi=x+\theta\Delta{x} ξ=x+θΔx= x 0 − θ Δ x x_0-\theta\Delta{x} x0​−θΔx= x 0 − θ ( x 0 − x ) x_0-\theta(x_0-x) x0​−θ(x0​−x)= x 0 + θ ( x − x 0 ) x_0+\theta(x-x_0) x0​+θ(x−x0​)(2),其中 θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1)
      • 综上,我们可以令 ξ \xi ξ= x 0 + θ ( x − x 0 ) x_0+\theta(x-x_0) x0​+θ(x−x0​), θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1)代替 ξ \xi ξ,( ξ \xi ξ为 x , x 0 x,x_0 x,x0​间的一个数),这使得泰勒公式的描述更加简练

    • 通常,Lagrange余项更经常被表示为 R n ( x ) R_{n}(x) Rn​(x)= f ( n + 1 ) ( x 0 + θ ( x − x 0 ) ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta{(x-x_0)})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(x0​+θ(x−x0​))​(x−x0​)n+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in{(0,1)} θ∈(0,1)

    Maclaurin公式

    • 这里主要讨论Peano型Maclaurin公式(一般不要求计算误差精度,Peano型足够使用)
    • f ( x ) f(x) f(x)= f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + 1 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f''(0)x^2 f(0)+f′(0)x+2!1​f′′(0)x2+ ⋯ \cdots ⋯+ 1 n ! f ( n ) ( 0 ) x n \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n n!1​f(n)(0)xn+ R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)(1),两种余项分别为:
      • R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)= o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)(1-1)
      • R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1或 f ( n + 1 ) ( θ x ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(θx)​(x−x0​)n+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1)(1-2)

    常用函数的Maclaurin公式👺

    • 主要掌握展开公式的前几项(2到5项,一般3项)就足够一般的应用,

    • 只要知道公式(1),和 f ( x ) f(x) f(x)的高阶导数,在必要的时候可以自行计算更多的项

      1. e x e^{x} ex= 1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ + 1 n ! x n 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n} 1+x+2!1​x2+⋯+n!1​xn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)

      2. sin ⁡ x \sin{x} sinx= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x−3!1​x3+5!1​x5−7!1​x7+ ⋯ \cdots ⋯+ ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! x 2 n − 1 \frac{(-1)^{n}}{(2n-1)!}x^{2n-1} (2n−1)!(−1)n​x2n−1+ o ( x 2 n − 1 ) o(x^{2n-1}) o(x2n−1)

      3. cos ⁡ x \cos{x} cosx= 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^{6} 1−2!1​x2+4!1​x4−6!1​x6+ ⋯ \cdots ⋯+ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} (2n)!(−1)n​x2n+ o ( x 2 n ) o(x^{2n}) o(x2n)

      4. ln ⁡ ( 1 + x ) \ln{(1+x)} ln(1+x)= x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + x 5 5 x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^{5}}{5} x−2x2​+3x3​−4x4​+5x5​+ ⋯ \cdots ⋯+ ( − 1 ) n − 1 x n n (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} (−1)n−1nxn​+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)

      5. ( 1 + x ) m (1+x)^{m} (1+x)m= 1 + m x + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2 1+mx+2!m(m−1)​x2+ ⋯ \cdots ⋯+ m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) n ! x n \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}x^{n} n!m(m−1)⋯(m−n+1)​xn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)

        1. 1 1 + x \frac{1}{1+x} 1+x1​= 1 − x + x 2 − ⋯ + ( − 1 ) n x n + o ( x n ) 1-x+x^2-\cdots+(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n}) 1−x+x2−⋯+(−1)nxn+o(xn)= [ ∑ i = 0 n ( − x ) i ] [\sum_{i=0}^{n}(-x)^{i}] [∑i=0n​(−x)i]+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)= [ ∑ i = 1 n ( − x ) i − 1 ] + o ( x n ) [\sum_{i=1}^{n}(-x)^{i-1}]+o(x^{n}) [∑i=1n​(−x)i−1]+o(xn)
        2. 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1​= 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + o ( x n ) 1+x+x^2+\cdots+x^{n}+o(x^{n}) 1+x+x2+⋯+xn+o(xn)= [ ∑ i = 0 n x i ] [\sum_{i=0}^{n}x^{i}] [∑i=0n​xi]+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)= [ ∑ i = 1 n x i − 1 ] + o ( x n ) [\sum_{i=1}^{n}x^{i-1}]+o(x^{n}) [∑i=1n​xi−1]+o(xn)
        3. 1 1 + x 2 \frac{1}{1+x^2} 1+x21​= 1 − x 2 + x 4 − ⋯ + ( − 1 ) n ( x 2 n ) + o ( x 2 n ) 1-x^2+x^4-\cdots+(-1)^{n}(x^{2n})+o(x^{2n}) 1−x2+x4−⋯+(−1)n(x2n)+o(x2n)= [ ∑ i = 0 n ( − x 2 ) i ] + o ( x 2 n ) [\sum_{i=0}^{n}(-x^2)^{i}]+o(x^{2n}) [∑i=0n​(−x2)i]+o(x2n)
        4. 1 + x \sqrt{1+x} 1+x ​= 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + o ( x 2 ) 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2) 1+21​x−81​x2+o(x2)
          • 1 + x \sqrt{1+x} 1+x ​= x ∑ k = 0 ∞ x − k ( 1 2 k ) \sqrt{x}\sum_{k=0}^{\infin}x^{-k}\binom{\frac{1}{2}}{k} x ​∑k=0∞​x−k(k21​​), ∣ x ∣ > 1 |x|>1 ∣x∣>1
          • 1 + x \sqrt{1+x} 1+x ​= ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x k ( − 1 2 ) k k ! \sum_{k=0}^{\infin}\frac{(-1)^{k}x^{k}(-\frac{1}{2})_{k}}{k!} ∑k=0∞​k!(−1)kxk(−21​)k​​, ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣x∣<1
        5. 1 − x \sqrt{1-x} 1−x ​= 1 − 1 2 x − 1 8 x 2 + o ( x 2 ) 1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2) 1−21​x−81​x2+o(x2)

      6. tan ⁡ x \tan{x} tanx= x + x 3 3 + o ( x 3 ) x+\frac{x^3}{3}+o(x^{3}) x+3x3​+o(x3)

      7. sec ⁡ x \sec{x} secx= 1 + x 2 2 + o ( x 2 ) 1+\frac{x^2}{2}+o(x^2) 1+2x2​+o(x2)

      8. arcsin ⁡ x \arcsin{x} arcsinx= x + 1 6 x 3 + o ( x 3 ) x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3) x+61​x3+o(x3)

      9. arctan ⁡ x \arctan{x} arctanx= x − 1 3 x 3 + o ( x 3 ) x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3) x−31​x3+o(x3)

      10. arccos ⁡ x \arccos{x} arccosx= π 2 − arcsin ⁡ x \frac{\pi}{2}-\arcsin{x} 2π​−arcsinx= π 2 − ( x + x 3 6 + o ( x 3 ) ) \frac{\pi}{2}-(x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)) 2π​−(x+6x3​+o(x3))= π 2 − x − x 3 6 + o ( x 3 ) \frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) 2π​−x−6x3​+o(x3)

      11. arccot ⁡ x \operatorname{arccot}{x} arccotx= π 2 − arctan ⁡ x \frac{\pi}{2}-\arctan{x} 2π​−arctanx= π 2 − ( x − 1 3 x 3 + o ( x 3 ) ) \frac{\pi}{2}-(x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)) 2π​−(x−31​x3+o(x3))= π 2 − x + x 3 3 + o ( x 3 ) \frac{\pi}{2}-x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) 2π​−x+3x3​+o(x3)

    记号

    二项式系数的记号
    • ( n k ) \binom{n}{k} (kn​)= n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} k!n(n−1)⋯(n−k+1)​
      • 这里我们允许 n n n取非整数,例如
        • ( 1 2 1 ) \binom{\frac{1}{2}}{1} (121​​)= 1 2 \frac{1}{2} 21​
        • ( 1 2 2 ) \binom{\frac{1}{2}}{2} (221​​)= 1 2 ( 1 2 − 1 ) 2 ! \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!} 2!21​(21​−1)​= − 1 8 -\frac{1}{8} −81​
      • 可参考wolfram文档定义
    Pochhammer符号
    • ( a ) n (a)_{n} (a)n​= a ( a + 1 ) ⋯ ( a + n − 1 ) a(a+1)\cdots(a+n-1) a(a+1)⋯(a+n−1)
    • 这和 A n m A_{n}^{m} Anm​= n ( n − 1 ) ⋯ ( n − m + 1 ) n(n-1)\cdots(n-m+1) n(n−1)⋯(n−m+1)相似

    分析

    • 一般地,对于某个公式 f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f(x)=g(x),将公式两端的 x x x替换为其他式子 α ( x ) \alpha(x) α(x)( α ( x ) \alpha(x) α(x)仍然在 f , g f,g f,g的定义域内),则等式仍然成立

    • 因此,将已知的函数的泰勒公式或Maclaurin公式两端的 x x x替换为某个定义域内的函数或式子 α ( x ) \alpha(x) α(x),公式仍然成立,

      • 例如公式(5-1)将 x x x替换为 − x -x −x后得到公式(5-2)

    • 对于 f ( x ) f(x) f(x)在 x = 0 x=0 x=0处展开的泰勒公式(即Maclaurin公式),用 u ( x ) = x − x 0 u(x)=x-x_0 u(x)=x−x0​替换 x x x,得到 f ( u ) f(u) f(u)= f ( x − x 0 ) f(x-x_0) f(x−x0​)在 x = x 0 x=x_0 x=x0​处展开的泰勒公式

    • 若能 f ( x ) f(x) f(x)和 f ( x − x 0 ) f(x-x_0) f(x−x0​)相差一个已知或易求的因式 d = d ( x ) d=d(x) d=d(x),即 f ( x ) = d f ( x − x 0 ) f(x)=df(x-x_0) f(x)=df(x−x0​),那么可以通过 f ( x ) f(x) f(x)的Maclaurin公式直接推得 f ( x ) f(x) f(x)在 x = x 0 x=x_0 x=x0​处的泰勒公式: d f ( x − x 0 ) df(x-x_0) df(x−x0​)

      • 例如,求 y = e x y=e^{x} y=ex在 x 0 = − 1 x_0=-1 x0​=−1处的泰勒公式(Lagrange型)
        • e x − x 0 e^{x-x_0} ex−x0​= e x + 1 e^{x+1} ex+1,由 e x e^{x} ex= ∑ i = 0 n 1 i ! x i \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}x^{i} ∑i=0n​i!1​xi+ e ξ ( n + 1 ) ! x n + 1 \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}{x^{n+1}} (n+1)!eξ​xn+1,可知 e x + 1 e^{x+1} ex+1= ∑ i = 0 n 1 i ! ( x + 1 ) i \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}(x+1)^{i} ∑i=0n​i!1​(x+1)i+ e ξ ( n + 1 ) ! ( x + 1 ) n + 1 \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}{(x+1)^{n+1}} (n+1)!eξ​(x+1)n+1, ξ \xi ξ为在 x , x 0 = − 1 x,x_0=-1 x,x0​=−1之间的某个数
        • 从而 e x e^{x} ex= e − 1 e x + 1 e^{-1}e^{x+1} e−1ex+1= ∑ i = 0 n e − 1 1 i ! ( x + 1 ) i \sum_{i=0}^{n}e^{-1}\frac{1}{i!}(x+1)^{i} ∑i=0n​e−1i!1​(x+1)i+ e ξ − 1 ( n + 1 ) ! ( x + 1 ) n + 1 \frac{e^{\xi-1}}{(n+1)!}{(x+1)^{n+1}} (n+1)!eξ−1​(x+1)n+1, ξ \xi ξ为在 x , x 0 = − 1 x,x_0=-1 x,x0​=−1之间的某个数

    记忆👺

    • 其中偶(奇)函数的展开式也是偶(奇)函数

      • 例如 cos ⁡ x , sec ⁡ x \cos{x},\sec{x} cosx,secx的展开式也表示为偶函数

    • 第一项(常数项)和一次项的确定(实际上是 x 0 , x 1 x^{0},x^{1} x0,x1的系数的确定)

      • 根据Maclaurin公式中,常数项是 f ( 0 ) f(0) f(0),不需要求导就可以计算立马判断处常数项是否为0

      • 例如: e x e^{x} ex= 1 + ⋯ 1+\cdots 1+⋯; ( 1 + x ) m (1+x)^{m} (1+x)m= 1 1 1; 1 1 − x = 1 + ⋯ \frac{1}{1-x}=1+\cdots 1−x1​=1+⋯; cos ⁡ x = 1 + ⋯ \cos{x}=1+\cdots cosx=1+⋯; sec ⁡ x = 1 + ⋯ \sec{x}=1+\cdots secx=1+⋯

        • 常数项 f ( 0 ) f(0) f(0)一次项 f ′ ( 0 ) x f'(0)x f′(0)x
          e x e^{x} ex1 x x x
          ( 1 + x ) m (1+x)^{m} (1+x)m1 m x mx mx
          1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1​1 x x x
          1 1 + x \frac{1}{1+x} 1+x1​1 − x -x −x
          cos ⁡ x \cos{x} cosx10
          sec ⁡ x \sec{x} secx10
          sin ⁡ x \sin{x} sinx0 x x x
          ln ⁡ ( 1 + x ) \ln(1+x) ln(1+x)0 x x x
          tan ⁡ x \tan{x} tanx0 x x x
          arcsin ⁡ x \arcsin{x} arcsinx0 x x x
          arctan ⁡ x \arctan{x} arctanx0 x x x

    • 公式3,4有时也写作

      • sin ⁡ x \sin{x} sinx= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x−3!1​x3+5!1​x5−7!1​x7+ ⋯ \cdots ⋯+ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} (2n+1)!(−1)n​x2n+1+ o ( x 2 n + 2 ) o(x^{2n+2}) o(x2n+2)
        • 余项前的一项的幂是奇次幂 k k k即可( 2 n + 1 2n+1 2n+1或 2 n − 1 2n-1 2n−1),Peano余项的幂次数可以 o ( x k ) o(x^{k}) o(xk)或 o ( x k + 1 ) o(x^{k+1}) o(xk+1)
      • cos ⁡ x \cos{x} cosx= 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^{6} 1−2!1​x2+4!1​x4−6!1​x6+ ⋯ \cdots ⋯+ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} (2n)!(−1)n​x2n+ o ( x 2 n + 1 ) o(x^{2n+1}) o(x2n+1)
        • 余项前的一项的幂是偶次幂,通常表示为 2 n 2n 2n,Peano余项的幂次数可以是 o ( x 2 n ) o(x^{2n}) o(x2n)或 o ( x 2 n + 1 ) o(x^{2n+1}) o(x2n+1)

    • 其中余项不是 o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)的公式都是经过简并后的公式(把值为0的项消去后,剩下的项重新编排 i = 1 , 2 , ⋯ i=1,2,\cdots i=1,2,⋯)

    幂型展开

    • ( 1 + x ) m (1+x)^{m} (1+x)m的展开公式和二项式定理 ∑ i = 0 m ( n i ) x i \sum_{i=0}^{m}\binom{n}{i}x^{i} ∑i=0m​(in​)xi,其中 ( n i ) = n ! ( n − i ) ! i ! \binom{n}{i}=\frac{n!}{(n-i)!i!} (in​)=(n−i)!i!n!​是相仿的

      • 然而,Maclaurin公式不要求 m m m是正整数,可以是非整数
      • 如果是 m ∈ N + m\in\mathrm{N}_{+} m∈N+​,容易得出余项会是0的结论

    • 当 m = − 1 m=-1 m=−1时,从式(5)可以得到式(5-1);再将 x x x用 − x -x −x代替,得到(5-2)

    • 更一般的,对于 f ( x ) = ( a x + b ) − 1 f(x)=(ax+b)^{-1} f(x)=(ax+b)−1的展开公式,可以作变形: f ( x ) f(x) f(x)= b ( a b x + 1 ) − 1 b(\frac{a}{b}x+1)^{-1} b(ba​x+1)−1= b ( 1 − ( − a b x ) ) − 1 b(1-(-\frac{a}{b}x))^{-1} b(1−(−ba​x))−1

      • 由式(5)或者直接由式(5-2)可知, f ( x ) f(x) f(x)= b ( ∑ i = 0 n ( − a b x ) i ) b(\sum_{i=0}^{n}(-\frac{a}{b}x)^{i}) b(∑i=0n​(−ba​x)i)+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)

      • 由于(5-2)式比(5-1)式是可以相互转换的,(5-2)式展开式中不需要关心各项的符号),通过 1 1 − ( − x ) \frac{1}{1-(-x)} 1−(−x)1​转换成 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1​的形式

      • 因此我们重点应用(5-2)式

    通项

    • 高阶导数为0的某些函数因为消去了0项,其Maclaurin公式的余项并不表示为 o ( x n ) o(x^{n}) o(xn),其通项也可以由不同的式子表示

    • 合理地归纳前若干项就不难得出通项,重点选择项的编号顺序:按"0,1,2, ⋯ \cdots ⋯,n"还是按"1,2, ⋯ \cdots ⋯,n"的顺序编号,例如 sin ⁡ x \sin{x} sinx的Maclaurin公式,分别可以归纳出通项公式: ( − 1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 (-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1} (−1)n(2n+1)!1​x2n+1,和 ( − 1 ) n − 1 1 ( 2 n − 1 ) ! x 2 n − 1 (-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1} (−1)n−1(2n−1)!1​x2n−1

    • 对于 sin ⁡ x , cos ⁡ x \sin{x},\cos{x} sinx,cosx,的Maclaurin公式,还可以选择将第一个非0次幂的项编为第 n = 1 n=1 n=1项

    公式的应用

    • 注意到,上述公式挂等号的前提是带上余项,反之,带上余项的展开式可以直接被展开来参与某这些运算(比如求极限)

    例

    • 例:设 f ( x ) = 1 1 − x 2 f(x)=\frac{1}{1-x^2} f(x)=1−x21​,求 f ( 99 ) ( x ) f^{(99)}(x) f(99)(x)

      • f ( x ) f(x) f(x)= ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n \sum_{n=0}^{\infin}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n ∑n=0∞​n!f(n)(0)​xn,该展开式的 x 99 x^{99} x99的系数对应的是 f ( 99 ) ( 0 ) 99 ! \frac{f^{(99)}(0)}{99!} 99!f(99)(0)​
      • 而 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1​= ∑ i = 0 ∞ x i \sum_{i=0}^{\infin}x^{i} ∑i=0∞​xi; f ( x ) f(x) f(x)= ∑ i = 0 ∞ x 2 i \sum_{i=0}^{\infin}x^{2i} ∑i=0∞​x2i= 1 + x 2 + x 4 + ⋯ 1+x^2+x^4+\cdots 1+x2+x4+⋯
      • 可见, f ( x ) f(x) f(x)的展开式中, x x x的奇数次幂都是0为系数,而偶次幂系数都为1
      • 从而 x ( 99 ) x^{(99)} x(99)的系数为0,从而 f ( 99 ) ( 0 ) 99 ! \frac{f^{(99)}(0)}{99!} 99!f(99)(0)​=0,即 f ( 99 ) ( 0 ) = 0 f^{(99)}(0)=0 f(99)(0)=0

    • 若 g ( x ) = x f ( x ) g(x)=xf(x) g(x)=xf(x)= x 1 − x 2 \frac{x}{1-x^2} 1−x2x​

      • 则 g ( x ) g(x) g(x)= x ( ∑ i = 0 ∞ x 2 i ) x(\sum_{i=0}^{\infin}x^{2i}) x(∑i=0∞​x2i)= x ( 1 + x 2 + x 4 + ⋯   ) x(1+x^2+x^4+\cdots) x(1+x2+x4+⋯)= x + x 3 + x 5 + ⋯ x+x^3+x^{5}+\cdots x+x3+x5+⋯
      • 可见, x ( 99 ) x^{(99)} x(99)的系数为1,从而 f ( 99 ) ( 0 ) 99 ! = 1 \frac{f^{(99)}(0)}{99!}=1 99!f(99)(0)​=1,即 f ( 99 ) ( 0 ) = 99 ! f^{(99)}(0)=99! f(99)(0)=99!
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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/xuchaoxin1375/article/details/133956601