LeetCode 799. 香槟塔【数组,模拟,简单线性DP】1855

本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。

为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。

由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

示例 1:

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.00000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。
1
2
3

示例 2:

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.50000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。
1
2
3

示例 3:

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
输出: 1.00000
1
2

提示:

• 0 <= poured <= 10^9
• 0 <= query_glass <= query_row < 100

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解法 模拟（简单DP）

可以模拟倒香槟过程。首先将所有的 $poured$ 杯香槟全部倒到 $row=0$ 的这个杯子中。当有溢出时，再将溢出的部分平均倒到下一层的相邻的两个杯子中。而除了 $row=0$ 的这个杯子中的香槟是直接来自于外部，其他杯子中的香槟均来自于「它上一层的相邻的一个或两个杯子」中溢出的香槟。

根据这个思路，可以求出每一层的每一只杯子中的香槟体积。求出 $row=query\_row$ 的杯子的香槟体积后，取第 $query\_glass$ 个杯子中的体积，并与 $1$ 求最小值返回。

class Solution {
public:
    double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        vector<double> row = {(double)poured};
        for (int i = 1; i <= query_row; i++) {
            vector<double> nextRow(i + 1, 0.0);
            for (int j = 0; j < row.size(); j++) {
                double volume = row[j];
                if (volume > 1) {
                    nextRow[j] += (volume - 1) / 2;
                    nextRow[j + 1] += (volume - 1) / 2;
                }
            }
            row = nextRow;
        }            
        return min(1.0, row[query_glass]);
    }
};
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复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(query\_ro{w}^2)$ 。使用了两层循环。
• 空间复杂度：$O(query\_row)$ 。使用滚动数组实现的空间复杂度是 $O(query\_row)$ 。