香山杯-2023-Crypto

lift

题目描述：

import os
import gmpy2
from Crypto.Util.number import *
import random
from secrets import flag
def pad(s,l):
    return s + os.urandom(l - len(s))
def gen():
    g = getPrime(8)
    while True:
        p = g * random.getrandbits(138) + 1
        if isPrime(p):
            break
    while True:
        q = g * random.getrandbits(138) + 1
        if isPrime(q):
            break
    N = p ** 5 * q
    phi = p ** 4 * (p - 1) * (q - 1)
    d = random.getrandbits(256)
    e = inverse(d, phi)
    E = e * g
    hint = gmpy2.gcd(E, phi)
    return N, E, hint

flag = pad(flag,64)
m = bytes_to_long(flag)
n,e,hint = gen()
c = pow(m,e,n)
print(f'hint = {hint}')
print(f'n = {n}')
print(f'e = {e}')
print(f'c = {c}')
# hint = 251
# n = 108960799213330048807537253155955524262938083957673388027650083719597357215238547761557943499634403020900601643719960988288543702833581456488410418793239589934165142850195998163833962875355916819854378922306890883033496525502067124670576471251882548376530637034077
# e = 3359917755894163258174451768521610910491402727660720673898848239095553816126131162471035843306464197912997253011899806560624938869918893182751614520610693643690087988363775343761651198776860913310798127832036941524620284804884136983215497742441302140070096928109039
# c = 72201537621260682675988549650349973570539366370497258107694937619698999052787116039080427209958662949131892284799148484018421298241124372816425123784602508705232247879799611203283114123802597553853842227351228626180079209388772101105198454904371772564490263034162
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37

题目分析：
$$\begin{gathered} n=p^5\ast q \\ e\ast d-1=k\ast phi \\ e\ast d-1\equiv 0\mathrm{mod}{p}^4 \\ e\ast d-1=k_1\ast p^4,可以看成是n的一部分 \\ 之后copper求出d \\ {p}^4=gcd(e\ast d-1,n)，至此得到p,q \end{gathered}$$
可以看看这篇文章
也可以参考参考论文

from gmpy2 import *
hint = 251
g = 251
n = 108960799213330048807537253155955524262938083957673388027650083719597357215238547761557943499634403020900601643719960988288543702833581456488410418793239589934165142850195998163833962875355916819854378922306890883033496525502067124670576471251882548376530637034077
e = 3359917755894163258174451768521610910491402727660720673898848239095553816126131162471035843306464197912997253011899806560624938869918893182751614520610693643690087988363775343761651198776860913310798127832036941524620284804884136983215497742441302140070096928109039
c = 72201537621260682675988549650349973570539366370497258107694937619698999052787116039080427209958662949131892284799148484018421298241124372816425123784602508705232247879799611203283114123802597553853842227351228626180079209388772101105198454904371772564490263034162
PR.<x> = PolynomialRing(Zmod(n))
f = (e//251) * x - 1
res = f.monic().small_roots(X = 2 ^ 256,beta = 0.44)[0]
p = iroot(gcd(ZZ(f(res)),n),4)[0]
q = n // (p) ** 5
print(p,q)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

得到p,q后发现e和phi不互素
这里运用类似有限域开方的解法
参考：这里

from gmpy2 import *
from Crypto.Util.number import *
import itertools

n = 108960799213330048807537253155955524262938083957673388027650083719597357215238547761557943499634403020900601643719960988288543702833581456488410418793239589934165142850195998163833962875355916819854378922306890883033496525502067124670576471251882548376530637034077
e = 3359917755894163258174451768521610910491402727660720673898848239095553816126131162471035843306464197912997253011899806560624938869918893182751614520610693643690087988363775343761651198776860913310798127832036941524620284804884136983215497742441302140070096928109039
c = 72201537621260682675988549650349973570539366370497258107694937619698999052787116039080427209958662949131892284799148484018421298241124372816425123784602508705232247879799611203283114123802597553853842227351228626180079209388772101105198454904371772564490263034162
p,q=69367143733862710652791985332025152581988181 ,67842402383801764742069883032864699996366777
n_list = [p ** 5,q]
res=[]

for pi in n_list:
    d = inverse(int(e//251),euler_phi(pi))     # 对n_listt 每一个 pi 求欧拉函数
    m = pow(c,d,pi)                            # m = mm^251
    res.append(Zmod(pi)(m).nth_root(251, all=True))   # nth_root # 最后一部分把 e 的公因数 251 去除之后用 sage 的 nth_root 直接开根即可
            # 在每一个pi环里 找到可以开251次方的放进result里面 
            # 在环里开251次方
            # 会出来 2 个 list表 对应每个 pi
for vc in itertools.product(*res):
    _c = [int(x) for x in vc]
    m = long_to_bytes(int(crt(_c, n_list)))
    if b"flag" in m:
        print(m)
# flag{4b68c7eece6be865f6da2a4323edd491}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

关键词:coppersmith, $n=p^r\ast q$, e与phi不互素，nth_root()

学艺不精，有待提高