常用傅里叶变换表 - 码农知识堂

常用傅里叶变换表
- 傅里叶展开
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_kcoskx+b_ksinkx$

$\left\{\begin{matrix} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx \end{matrix}\right.$
- 傅里叶变换
$F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx$
- 傅里叶逆变换
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(k)e^{ikx}dk$
- 时域信号
$g(t)\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}G(\omega)e^{i\omega t}d\omega$
- 弧频域信号
$G(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-i2\pi ft}dt$
- 线性变换
$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\rightarrow a\cdot G(f)+b\cdot H(f)$
- 时域平移
$g(t-a)\rightarrow e^{-i2\pi af}G(f)$
- 频域平移
$e^{iat}\rightarrow G(f-\frac{a}{2\pi})$
- 伸缩变换
$g(at)\rightarrow\frac{1}{|a|}G(\frac{f}{a})$
- 微分性质
$\frac{d^n}{dt^n}g(t)\rightarrow (i2\pi f)^nG(f)$
- 逆变换的微分性质
$t^ng(t)\rightarrow (\frac{i}{2\pi})^n\frac{d^n}{df^n}G(f)$
- 卷积定理
$(g*h)(t)\rightarrow G(f)H(f)$

原函数变换结果
$e^{iat}$ $\delta(f-\frac{a}{2\pi})$
$e^{-at^2}$ $\sqrt{\frac{\pi}{a}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{a}}$
$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})+\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2}$
$\sqrt{\frac{\pi}{a}}cos(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})-\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2i}$
$-\sqrt{\frac{\pi}{a}}sin(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$e^{-a|t|}(a>0)$ $\frac{2a}{a^2+4\pi^2f^2}$
$\frac{1}{\sqrt{|t|}}$ $\frac{1}{\sqrt{|f|}}$
$\delta(f)$
$\delta(t)$
$(\frac{i}{2\pi})^n\delta^{(n)}(f)$
$\frac{1}{t}$ $-i\pi\cdot sgn(f)$
$\frac{1}{t^n}$ $-i\pi\cdot \frac{(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\cdot sgn(f)$
$\frac{1}{i\pi f}$
$\frac{1}{2}(\frac{1}{i\pi f}+\delta(f))$
$e^{-at}u(t)$ $\frac{1}{a+i2\pi f}$
$rect(at)$ $\frac{1}{|a|}\cdot sinc(\frac{f}{a})$
$sinc(at)$ $\frac{1}{|a|}\cdot rect(\frac{f}{a})$
- 单位阶跃函数：
- 符号函数：
$sgn(x)=\left\{\begin{matrix} 1&x>0\\ 0&x=0\\ -1&x<0 \end{matrix}\right.$
- 矩形函数：
$rect=\left\{\begin{matrix} 1 & |x|<\frac{1}{2}\\ 0 & others \end{matrix}\right.$
- 辛格函数：
$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$
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原文地址：https://blog.csdn.net/Chandler_river/article/details/133827638

原函数	变换结果
$e^{iat}$	$\delta(f-\frac{a}{2\pi})$
$e^{-at^2}$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{a}}$
	$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})+\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2}$
	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}cos(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
	$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})-\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2i}$
	$-\sqrt{\frac{\pi}{a}}sin(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$e^{-a\|t\|}(a>0)$	$\frac{2a}{a^2+4\pi^2f^2}$
$\frac{1}{\sqrt{\|t\|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\|f\|}}$
	$\delta(f)$
$\delta(t)$
	$(\frac{i}{2\pi})^n\delta^{(n)}(f)$
$\frac{1}{t}$	$-i\pi\cdot sgn(f)$
$\frac{1}{t^n}$	$-i\pi\cdot \frac{(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\cdot sgn(f)$
	$\frac{1}{i\pi f}$
	$\frac{1}{2}(\frac{1}{i\pi f}+\delta(f))$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{a+i2\pi f}$
\(rect(at)\)	\(\frac{1}{\|a\|}\cdot sinc(\frac{f}{a})\)
\(sinc(at)\)	\(\frac{1}{\|a\|}\cdot rect(\frac{f}{a})\)