AM@导数求导法则

abstract

• 导数与微分@微商

• 微分是导数的另一种描述形式

• 介绍常用的求导法则,证明及示例

导数和微分

函数的微分

• 函数$y=f(x)$在任意点$x$的微分,称为函数的微分,记为:

  • $\mathrm{d}y$,$\mathrm{d}f(x)$

  • $dy=f^{\prime }(x)\Delta x$

  • 例如:$y=\cos x$的微分:$\mathrm{d}y=(\cos x{)}^{\prime }\Delta x=-\sin x\Delta x$

自变量的微分

• 通常把自变量$x$的增量$\Delta x$称为自变量的微分,记为$\mathrm{d}x$,即$\mathrm{d}x=\Delta x$
• 函数$y=f(x)$的微分又可以记为:$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$,即:$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x)$

微商

• 函数的微分$\mathrm{d}y$与自变量的微分$\mathrm{d}x$之商等于该函数的导数

• 即$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x)$,因而导数也叫做微商

函数间四则运算组合函数的求导法则

• 为了微分一个由一些常见函数组成的函数，下面的一些法则方便使用。

假设函数$f$和$g$都是可微的，$C$是一个常数，则：

• 常数相乘法则

  • $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[Cf(x)]=C\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x),$$

• 加法法则

  • $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)+g(x)]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x),$$

• 乘法法则

  • $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x)]=f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[g(x)]+g(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)],$$

• 除法法则

  • $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)]-f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[g(x)]}{[g(x){]}^2}.$$

推导

• 这些个基础法则均可以通过导数的极限定义推导

• 以乘法求导法则为例

乘法求导法则

• 例如乘法求导法则(需要对导数的极限式定义熟悉,要点配凑的技巧)

  • $$\begin{array}{rl}(u(x)v(x){)}^{\prime }& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)+[-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)]}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))v(x+\Delta x)-u(x)v(x)+[u(x)v(x+\Delta x)]}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))v(x+\Delta x)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-u(x)v(x)+[u(x)v(x+\Delta x)]}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))}{\Delta x}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }v(x+\Delta x)+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x)(v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x}\\ & =u^{\prime }(x)v(x)+u(x)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}\\ & =u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)\end{array}$$

  • 简写为:$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

复合函数求导法则

• 若$u=g(x)$在点$x$可导,而$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导,则$y=f(g(x))$在点$x$可导,且$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$或$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

• 由于$y=f(u)$在点$u$可导,即存在极限$\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta u}$=$f^{\prime }(u)$;再由极限和无穷小的关系:$\frac{\Delta y}{\Delta u}$=$f^{\prime }(u)+\alpha (\Delta u)$(1)

  • 其中函数$\alpha (\Delta u)$是$\Delta u\to 0$时的无穷小

  • 若$\Delta u\ne 0$,则式(1)两边同乘以$\Delta x$,得$\Delta y=f^{\prime }(u)\Delta u+\alpha (\Delta u)\Delta u$(2)

  • 当$\Delta u=0$时,规定$\alpha (\Delta u)=\alpha (0)=0$

    • 则有$\alpha (\Delta u)$=$\{\begin{array}{ll}\frac{\Delta y}{\Delta u}-f^{\prime }(u)& \Delta u\ne 0\\ 0& \Delta u=0\end{array}$在$\Delta u=0$处连续,因为左右极限都等于0,所以$\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\alpha (\Delta u)=0=\alpha (0)$)

    • 并且$\Delta y=f(u+\Delta u-f(u))$=$f(u)-f(u)=0$;式(2)仍然成立

  • 用$\Delta x\ne 0$除式(2)两边,得$\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$f^{\prime }(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}$+$\alpha (\Delta u)\cdot \frac{\Delta u}{\Delta u}$(3)

  • 式(3)两边取$\Delta x\to 0$的极限,得(4):

    • $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f^{\prime }(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha (\Delta u)\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}]$$

    • 由于$u=g(x)$在$x$点可导,所以$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}$=$g^{\prime }(x)$(5),且由可导和连续的关系:$u=g(x)$在$x$点连续:$\Delta u\to 0(\Delta x\to 0)$,从而$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\alpha (\Delta u)$=$\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\alpha (\Delta u)$=$0$(6)

    • 由(5),(6)可知,$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$f^{\prime }(u)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}$+0=$f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$,即$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$

例

• $y=e^{x^3}$,求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

  • 令$y=e^u$;$u=x^3$
  • $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$=$e^u(3x^2)$=$e^{x^3}3x^2$=$3x^2{e}^{x^3}$

反函数求导法则👺

• 定理:若直接函数$x=f(y)$在区间$I_y$内单调可导,且$f^{\prime }(y)\ne 0$,那么它得反函数$y=f^{-1}(x)$在区间 I x = {   x ∣ x = f ( y ) , y ∈ I y   } I_{x}=\set{x|x=f(y),y\in{I_{y}}} Ix​={x∣x=f(y),y∈Iy​}内也可导,且$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}$或$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}$
• Notes:
  • 一般的,反函数$f^{-1}$的定义域满足:$D_{f^{-1}}=R_f$
    • 如果强调表示自变量和因变量的字母,例如上述定理描述中$f^{-1}$的自变量用字母$x$表示,因此$f^{-1}$的定义域还记为$I_x$,值域就表示为$I_y$
  • 该定理揭示了反函数的导数和其对应的直接函数的导数间的关系,使得我们能通过求解直接函数的导数取倒数直接得到反函数的导数;
  • 显然,该定理对于直接函数的导数已知或者易求的时候十分方便的得到反函数的导数

证明

• 由$x=f(y)$在区间$I_y$内单调可导,又由单调函数及其反函数的关系定理可知,$x=f^{-1}(y)$存在且$f^{-1}(x)$在$I_x$内也式单调连续的
• 由单调性:
  • $\forall x\in I_x$,增量$\Delta x(\Delta x\ne 0,x+\Delta x\in I_x)$,由$y=f^{-1}(x)$的单调性(设严格单调),$\Delta y=f^{-1}(x+\Delta x)-f^{-1}(x)\ne 0$
  • 从而有除式变形:$\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$(\frac{\Delta x}{\Delta y}{)}^{-1}$=$\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}$,$(\Delta x,\Delta y\ne 0)$
• 由连续性:$y=f^{-1}(x)$连续 $\Rightarrow$ $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=0$
• 而直接函数$x=f(y)$的导数$f^{\prime }(y)$=$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta y}$
• 从而$[f^{-1}(x){]}^{\prime }$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}$=$\frac{1}{f^{\prime }(y)}$

例

• 利用反函数求导法则求$y={\log }_{a}x$,$(a>0,a\ne 1,x\in (0,+\infty ))$的导数

  • 函数$y={\log }_{a}x$的反函数为$x=a^y$(1),这个函数的导数易求(已知),则通过反函数求导公式有$y^{\prime }=\frac{1}{x^{\prime }}$=$\frac{1}{a^y\ln a}$(2),为了得到关于$x$的函数,将(1)代入(2),得$y^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

• 变式:求$y=a^x(a>0,a\ne 1)$的反函数的导数

  • 设函数$y$的反函数为$x=x(y)$,则$x^{\prime }=\frac{1}{y^{\prime }}$=$\frac{1}{a^x\ln a}$,再将$y=a^x$代入,得$x^{\prime }=x^{\prime }(y)$=$\frac{1}{y\ln a}$
  • 将所求函数得自变量和因变量分别用$x,y$表示即得$y=\frac{1}{x\ln a}$

• 从上述两个例子可以看出,使用反函数求导法则求反函数的导数是很方便的,甚至不需要知道反函数的解析式就能够得出反函数的导数

例

• 求$x=\sin y$,$y\in I_y=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$,$x\in [-1,1]$的反函数$y=\arcsin x$

• 函数$x$在$I_y$内单调可导,所以其反函数导数$y^{\prime }=\frac{1}{x^{\prime }}$=$\frac{1}{\cos y}$

• $\cos y=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}y}$=$\pm \sqrt{1-x^2}$,在$I_y$内,$\cos y>0$,所以$\cos y=\sqrt{1-x^2}$

• 从而$y^{\prime }=(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• 类似的可以得到$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

例

• 设$x=\tan y$(0)是直接函数,$y\in I_y=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$,$x\in I_x=(-\infty ,+\infty )$求函数(0)的反函数$y=\arctan x$,$(x\in I_x)$
  • 注意,严格上讲,$y=\arctan x$并不是$x=\tan y$的反函数,而应该具体地指出定义域限制:$y\in I_y$;只是为了方便,通常默认$x=\tan y$是$x=\tan y,y\in I_y$
• $y^{\prime }=\frac{1}{x^{\prime }}$=$\frac{1}{{\sec }^{2}y}$;而${\sec }^{2}y={\tan }^{2}y+1$,代入(0),得${\sec }^{2}y=x^2+1$;从而$y^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$
• 类似地可得$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2+1}$

对数求导法@Bernoulli求导法

• 以求$y=a^x$的导函数为例,使用对数求导法(伯努利求导法)

• $y=a^x$,两边取对数$\ln y=\ln a^x=x\ln a$

• 两边同时对$x$求导,$\frac{1}{y}{y}^{\prime }=\ln a$,整理:$y^{\prime }=y\ln a=a^x\ln a$即,$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

导数的其他记号

• 2.4. 微积分 — 动手学深度学习 documentation (d2l.ai)

导数的等价符号

• 给定$y=f(x)$，其中$x$和$y$分别是函数$f$的自变量和因变量。

• 以下表达式是等价的：

  • $f^{\prime }(x)$ = $y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ = $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$ = $Df(x)=D_{x}f(x)$,

• 其中符号$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$和$D$是微分运算符，表示微分操作。

  • 微分运算符D为Euler 记法

  • 例如:常见函数求微分：

    • $DC=0$（$C$是一个常数）

    • $D{x}^n=n{x}^{n-1}$（幂律（power rule），$n$是任意实数）

    • $D{e}^x=e^x$

    • $D\ln (x)=1/x$

数值微分

• def f(x):
      return 3 * x ** 2 - 4 * x
  
  def numerical_lim(f, x, h):
      return (f(x + h) - f(x)) / h
  
  h = 0.1
  for i in range(5):
      print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
      # 逐步缩小补偿(微分),获得更加精确的导数估计值
      h *= 0.1
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  11

  • h=0.10000, numerical limit=2.30000
    h=0.01000, numerical limit=2.03000
    h=0.00100, numerical limit=2.00300
    h=0.00010, numerical limit=2.00030
    h=0.00001, numerical limit=2.00003
    1
    2
    3
    4
    5