浮点数运算以及溢出问题

一、浮点数加减运算的步骤

1. 对阶：小阶向大阶对齐，阶小的那个数尾数右移，对于IEEE754标准表示的浮点数来说，右移时要注意将隐含的一位1右移到小数部分
2. 尾数加减：注意要先还原隐藏位
3. 尾数规格化：直到将第一位1移到小数点左边
   • 右规：尾数右移一位，阶码加1；
   • 左规：尾数左移一位，阶码减1
4. 尾数的舍入处理：在对阶和尾数右规时，可能会对尾数进行右移。一般将低位移出的位参与一些运算后再对结果进行舍入
5. 溢出判断：在尾数规格化和尾数舍入时，可能会对结果的阶码执行加减运算。浮点数的溢出并不以尾数溢出来判断，而主要是看结果的指数是否发生了上溢，因此是由指数上溢来判断的
   • 两种溢出
     • 指数上溢：一个正指数超过了最大允许值：127（对应规格化数，移码11111110）或1023
     • 指数下溢（即绝对值过小时直接判为0）：一个负指数超过了最小允许值：-149（对应非规格化小数，移码00000000+尾数000…01）或-1074
   • 可能导致溢出的情况：即所有涉及阶码运算的情况
     • 右规和尾数舍入：一个数值很大的尾数舍入时，可能因为末位+1而发生尾数溢出，此时就需要调整尾数和阶码（尾数右规、阶码+1）。若调整前或后阶码全为1，则直接置结果为指数上溢；否则正常
     • 左规（即会导致指数下溢）：左规时阶码减小，故需判断是否发生指数下溢。判断规则就是看阶码是否为全0（这里有两种说法，一种是阶码全0就判断为下溢（IEEE规格化），一种是指数超过最小允许值-149（-126-23）才判断下溢（IEEE非规格化小数），如果没表示的话应该按照第一种全0说法）

二、关于上溢和下溢

注：上面第二张图并不是IEEE标准的表示范围，只是用来展示上溢和下溢说法的

二、关于浮点数溢出

袁书原话是：浮点数的溢出并不以尾数溢出来判断，尾数溢出可以通过右规操作得到纠正。运算结果是否溢出主要看结果的指数是否发生了上溢，因此是由指数上溢来判断的。

但我猜如果题目问到浮点数溢出，应该阶码上溢和阶码下溢都算。最没毛病的，就是题目明确给出是上溢还是下溢了。

三、相关题目

1. 一道选择：
   
   
   
   
   
   答案是D
2. 其中一小问：f1(24)和f2(24)的返回值分别为33554431和33554432.0，为什么不相等？
   
   
   
   
   
   答：当n=24时，f(24)=1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 B，而float型数只有24位有效位，舍入后数值增大，所以f2(24)比f1(24)大1.