EM@从整数指数幂到实指数幂

abstract

• 从整数指数幂到实指数幂
• 通过$n$次方根和根式的引入来定义和实现从正数指数幂推广到分数指数幂

指数和幂

正整指数幂

• $a^n$=$\underset{n个}{\underbrace{a\cdots a}}$,$n\in {\mathbb{N}}^{+}$

• 其中$a^n$称为**$a$的$n$次幂**

• $a$叫做幂的底数,$n$叫做幂的指数

• 正整指数幂满足:$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$,$(m>n,a\ne 0)$

• 也可以递归地定义成：

  $a^n=\{\begin{array}{ll}1& (n=0)\\ a\cdot a^{n-1}& (n>0)\\ {\left(\frac{1}{a}\right)}^{-n}& (n<0)\end{array}$

整数指数幂

• 将$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},(m>n,a\ne 0)$的条件$m>n$取消,则推广到了整数指数幂($m-n\in \mathbb{Z}$)

  • 例如$\frac{a^3}{a^5}$=$a^{-2}$

• 整数指数幂中规定$a^0=1,(a\ne 0)$,$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$,$a\ne 0$,$n\in {\mathbb{N}}^{+}$

• 即任何负整数次幂的计算都可以转化为含正整数指数幂的算式表示和计算

• 例如$a^{-2}$=$\frac{a^0}{a^2}$=$\frac{1}{a^2}$

• Note:$a=0$时$a^0$比较特殊,参考幂 (wikipedia.org)

  • 如果要给它($0^0$)指定一个值,通常是1
  • 若$a=0$,$a^{-2}=\frac{a^0}{a^2}$没有意义,但在其他地方,使用有定义的$0^0$是方便的
  • 在中学阶段可姑且认为$0^0$没有定义

分数指数幂

• 另见"根式和分数指数幂"

无理数指数幂和实数指数幂

• 无理数指数幂$a^n$,$n\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$,其中$\mathbb{R}-\mathbb{Q}$表似乎无理数集合
• 设$n_1,n_2$分别是$n$的有理不足近似和过剩近似,并将$n$的任意一个不足近似记为$p_n$,任意一个过剩近似值记为$q_n$
• 当$p_n,q_n$越来越接近$n$时$a^{p_n},a^{q_n}$也就越接近$a^n$
• 即,我们可以用两个有理数幂的序列 {   a p n   } , {   a q n   } \set{a^{p_n}},\set{a^{q_n}} {apn​},{aqn​}无限逼近$a^n$
• 综上,一般的,$a>0,\forall \alpha \in \mathbb{R}$,实指数幂$a^{\alpha }$就都有意义了,即正数的实指数幂都有意义
• 有理指数幂的运算法则也适用于无理数指数幂,即对实指数幂都适用

幂运算法则🎈

1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
   • $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. 同底数幂相除，底数不变，指数相减：
   • $a^m÷a^n=a^{m-n}$
3. 同指数幂相除，指数不变，底数相除($b$不为0)：
   • $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

其他定义实指数的方法

• 方式1:因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成：$b^x={\lim }_{r\to x}{b}^r,$
  例如：$x\approx 1.732$于是$5^x\approx 5^{1.732}=5^{\frac{433}{250}}=\sqrt[250]{5^{433}}\approx 16.241$
• 方式2:实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。
  • 自然对数$\ln x$是指数函数$e^x$的反函数。 它的定义是：对于任意$b>0$，满足$b=e^{\ln b}$
  • 根据对数和指数运算的规则：$b^x=(e^{\ln b}{)}^x=e^{x\cdot \ln b}$
  • 这就是实数指数幂的定义：$b^x=e^{x\cdot \ln b}$
  • 实数指数幂$b^x$的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

特别的幂👺

• 0的正实指数幂为0;
• $0$的负整数次幂无意义
• $0$的0次幂可以定义为1,一种极限的看法:$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=0^0$

非零实数的整数幂

• 实数的整数幂都是有意义的
• 非零实数的偶次幂（无论是正偶数还是负偶数）都是正数
  • 例如$(-2{)}^2$=$4$,$(-2{)}^{-2}$=$\frac{1}{4}$

正数的幂

• 正数的任意实数指数幂都是正数:$a>0,\forall \alpha \in \mathbb{R}$,总有$a^{\alpha }>0$
• 但是幂为正数推不出底数为正数,需要分情况讨论

负数的幂

• 负数的实指数次幂不都是有意义的

  • 例如$(-2{)}^{\frac{1}{2}}$

1的幂🎈

• 1的任何次幂都为1。

0的幂

• 0的正数幂都等于0。
• 0的负数幂没有定义。因为$0^{-n}=\frac{1}{0^n},n\in {\mathbb{R}}^{+}$,这遇到了0作为除数的问题,因而未定义0的负指数幂
• 任何非0之数的0次方都是1；
• 而0的0次方是悬而未决的，
  • 某些领域下常用的惯例是约定为1。
  • 但某些教科书表示0的0次方为无意义。
  • 也有人主张定义为1。

负1的幂

• -1的奇数幂等于-1
• -1的偶数幂等于1

幂的补充资料

• 来源是wikipedia,部分内容和前面章节重复

• 在数学中，重复连乘的运算叫做乘方，乘方的结果称为 幂（英语：mathematical power，power）；由此，若 $n$ 为正整数，$n$ 个相同的数 $b$ 连续相乘（即 $b$ 自乘 $n$ 次），就可将 $b^n$ 看作乘方的结果 ——“幂”。

• $b^n=\underset{n}{\underbrace{b\times \cdots \times b}}$

• 幂运算（exponentiation）又称指数运算、取幂，是数学运算，表达式为 $b^n$，读作“$b$ 的 $n$ 次方”或“$b$ 的 $n$ 次幂”。

• 其中，$b$ 称为底数，而 $n$ 称为指数，通常指数写成上标，放在底数的右边。

• 当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件中，$b^n$ 通常写成 b^n 或 b**n；也可视为超运算，记为 b[3]n；亦可以用高德纳箭号表示法，写成 b↑n。

• 当指数为 1 时，通常不写出来，因为运算出的值和底数的数值一样；

• 指数为 2 时，可以读作“$b$ 的平方”；

• 指数为 3 时，可以读作“$b$ 的立方”。

• 由于在十进制中，10的幂很容易计算，只需在后面加零即可，所以科学记数法借此简化记录的数字；2的幂则在计算机科学中相当重要。

• 起始值 1（乘法的单位元）乘上底数（$b$）自乘指数（$n$）这么多次。这样定义了后，很易想到如何一般化指数 0 和负数的情况：

  • 指数是零时，底数不为零，幂均为一（即除 0 外，所有数的 0 次方都是 1 ）；
  • 指数是负数时，就等于重复除以底数（或底数的倒数自乘指数这么多次），即：
  • $b^0=1(b\ne 0)$
  • $b^{-n}=\frac{1}{\underset{n}{\underbrace{b\times \cdots \times b}}}=\frac{1}{b^n}={\left(\frac{1}{b}\right)}^n(b\ne 0)$。

• 若以分数为指数的幂，则定义：

  • $b^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{b^n}$，
  • 即 $b$ 的 $n$ 次方再开 $m$ 次方根。

• 0的0次方（$0^0$）目前没有数学家给予正式的定义；

  • 在部分数学领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为 1 ，也有人主张定义为 1 。
  • 此外，当 $n$ 是复数，且 $b$ 是正实数时，$b^n=\exp (n\ln (b))$
  • exp 是指数函数，而 ln 是自然对数。