初级数值计算理论总结

初级数值计算理论总结
- 本文用于总结复习与研究生面试
  - 一问，小伙子会不会数值计算啊
  - 一答：会
  - 二问：哦，讲讲看
  - 二答：讲不出来
  - 三问：......
数值求根
- 二分法
- Jacobi 迭代法
$x_{k+1}=g(x_k)$
- Jacobi 迭代改进算法（事后加速法）（根位置）
$x_{k+1}=g(x_k)$

$x_{k+1}-x^*=g(x_k)-g(x^*)=g'(\zeta )(x_k-x^*),\zeta \in [x_k,x^*]$

$x_{k+1}'=\frac{x_{k+1}-g'(\zeta)x_k}{1-g'(\zeta)}$

$x_{k+1}=x'_{k+1}$
- Aitken 加速算法（根位置）
$x_{k+1}=g(x_k),x_{k+2}=g(x_{k+1})$

$\left\{\begin{matrix} x_{k+1}-x^*=g'(\zeta_1)\cdot(x_k-x^*) &\zeta_1\in [x_k,x^*] \\ x_{k+2}-x^*=g'(\zeta_2)\cdot(x_{k+1}-x^*) &\zeta_2\in [x_{k+1},x^*] \end{matrix}\right.$

$x'_{k+1}=x_{k+2}-\frac{(x_{k+2}-x_{k+1})^2}{x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k}$

$x_{k+1}=x'_{k+1}$
- Newton 迭代法
$x_{k+1}=g(x_k)=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$
- 最速下降法
  - 使得
$f(x)=0\rightarrow \frac{dV(x)}{dx}=0$

$V(x)=V(x_k)+\frac{dV(x_k)}{dx}(x-x_k)+O((x-x_k)^2)$

现有任意大于零的常数 $\lambda$

$x_{k+1}=x_k-\lambda f(x)$

......这种方法，反正我从来没用过

线性方程组
- Gauss 消元法
  - 都能实现，只讲一下要点
    一定要在程序设计时注意到，零除错误，总之，这种方法很依赖微操
    而且很受限制，如果不能完成自主的排版工作，
    可以设置仅求解满秩方程
- LU分解法
  - L：左下三角矩阵
  - U：右上三角矩阵
  - 事实上所以只需要求出一个就行
  - LU 分解步骤
- (1)...以后补
- (2)...反正
- (3)...这种方法
- (4)...实际中也没人用
- Jacobi 迭代
$Ax=b\rightarrow (D-L-U)x=b\rightarrow x=D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b$

对角矩阵，下三角矩阵，上三角矩阵（与LU分解没有任何关系，就是单纯的相加，L，U矩阵的对角线上的值均为零）

例如：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 &2 \\ 3 & 1 &2 \\ 3 &3 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 & -2 & -2\\ & 0 & -2\\ & &0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 & & \\ -1 &0 & \\ -1 & -1 &0 \end{bmatrix}$

收敛条件是常被问到的问题：主要想偷摸问你一下矩阵的谱半径 $\rho$ （本征值的绝对值的最大值）

收敛充要条件： $\rho\leq 1$
- Gauss-Seidel 迭代
  - 经过数学家的微操，认为Jacobi 迭代有一些重复的步骤，这种迭代减去了这一步骤
$x_{k+1}=(D-L)^{-1}Ux_k+(D-L)^{-1}b$

类似的，判别矩阵为 $G=(D-L)^{-1}U$
- - 事实上，在编程时，我们总是使用已经计算好的表达式而不是进行矩阵运算
- 松弛迭代法
  - 这是一种类似于最速下降法的求解方法，意义很大，我将新开一篇博客专门讲这个问题
矩阵本征值计算问题
- Jacobi 迭代法
  - 因为有
    对角矩阵的特征值为对角线上的元素值
    矩阵的相似变换不改变矩阵的特征值
    已经具体介绍过，参加链接
对应博客
- 这一节内容极其重要，我都专门写了博客，链接贴在下面
  - QR分解
  - 三对角化方法
  - 广义本征值问题
插值与拟合
- 这一节显然就没有什么特点了，就硬背吧......
  - 插值：就是给一堆点，你给整一个函数，使得每一个点都在这个函数上
  - 拟合：就是给一堆点，给一个含参函数，通过一些方法确定这个参数，使得这个函数与点之间的距离不要太远
    常用的方法
    最小二乘法
- 不会有人考这玩意的，这东西纯靠记忆力，记不住拉倒
数值微积分

导数
- 各种求导公式我都列出来了，参见这篇文章
积分
- 这个还是有一点重要的
  - 机械积分
  - 插值积分
  - 复化积分
  - Gauss 积分
- 尽快实现，补全
相关阅读:
进制的转换如六进制
 Github操作—团队内协作（四）——Git
【汇编】#5 80x86指令系统其一（数据传送与算术）
Python采集电商平台数据信息
 多位数按键操作（不闪烁）数码管显示
 DevOps --- Pipeline和Yaml文件
 盒子阴影和网页布局
 【干货】Vue3 组件通信方式详解
 CMake技术总结
 释放数据价值的真正法宝，数据要素市场化开发迫在眉睫
原文地址：https://blog.csdn.net/Chandler_river/article/details/133621131

数值求根

线性方程组

矩阵本征值计算问题

插值与拟合

数值微积分

导数

积分