数据结构 B树 B+树 B*树 特性与规则说明 图解

前言

B树基本规则

1. 每个节点最多有m个子节点，其中m是一个正整数。根节点除外，其他节点至少有⌈m/2⌉个子节点。

2. 每个节点中的键值按照非降序排列。对于节点中的键值k，如果有n个子节点，那么节点中的n-1个键值将把节点分为n个区间，第i个区间的键值小于k，第i+1个区间的键值大于等于k。

3. 所有叶子节点位于同一层，且不包含任何键值信息，可以看作是外部存储的块。

4. 每个非叶子节点中的键值个数比子节点个数少1。

5. 每个节点中的键值个数满足：
   ⌈m/2⌉-1 <= 键值个数 <= m-1

B树的数据插入（文字描述+图解）

插入规则概览：

1.从根节点开始，按照节点中的键值进行比较，找到合适的叶子节点（比较结果类似于二叉搜索树）。

2.如果叶子节点中已经存在该键值，则更新相应的值。

3.如果叶子节点中不存在该键值，则将键值插入到叶子节点的合适位置，并保持节点中的键值有序。

4.如果插入键值后，叶子节点的键值个数超过了上限m-1，则进行分裂操作。

将叶子节点的键值分成两部分，左边部分包含⌈(m-1)/2⌉个键值，右边部分包含⌊(m-1)/2⌋个键值。

将右边部分的键值和对应的子节点分离出来，形成一个新的叶子节点。

将新的叶子节点插入到叶子节点的右边，并更新父节点的键值信息。
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5.如果插入键值后，叶子节点的键值个数没有超过上限m-1，则直接插入。

6.如果父节点存在并且插入键值后超过了上限m-1，则进行分裂操作。

将父节点的键值分成两部分，左边部分包含⌈(m-1)/2⌉个键值，右边部分包含⌊(m-1)/2⌋个键值。

将右边部分的键值和对应的子节点分离出来，形成一个新的父节点。

将新的父节点插入到父节点的右边，并更新祖父节点的键值信息。
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重复步骤6，直到根节点为止。

（图解）插入的情况归类为以下几种：

1. 无父亲节点，不需要分裂；
   

2. 有父亲节点，不需要分裂；
   

3. 无父亲节点，需要分裂；
   

   将叶子节点的键值分成两部分，左边部分包含⌈(m-1)/2⌉个键值，右边部分包含⌊(m-	1)/2⌋个键值。
   
   将右边部分的键值和对应的子节点分离出来，形成一个新的叶子节点。
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4. 有父亲节点，插入节点需要分裂，插入后父亲节点不需要分裂；
   
   将叶子节点的键值分成两部分，左边部分包含⌈(m-1)/2⌉个键值，右边部分包含⌊(m-1)/2⌋个键值。
   将右边部分的键值和对应的子节点分离出来，形成一个新的叶子节点。

   将新的叶子节点插入到叶子节点的右边，并更新父节点的键值信息。

5. 有父亲节点，插入节点需要分裂，插入后父亲节点需要分裂；

将父节点的键值分成两部分，左边部分包含⌈(m-1)/2⌉个键值，右边部分包含⌊(m-1)/2⌋个键值。

将右边部分的键值和对应的子节点分离出来，形成一个新的父节点。

将新的父节点插入到父节点的右边，并更新祖父节点的键值信息。

重复以上步骤，直到根节点
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B树数据查找

由于数据数据排列的格式类似于搜索二叉树，所以查找也是。

B树效率分析

如果忽略内存中查找和外存中查找时间的巨大差异：
设 ：
有效值个数 = N；
度 = M ；
则：一个节点的有效值个数 = M/2 ~ M-1 ；
故：树的高度为 = log{M/2} N ~ log{M-1}N ;
一个节点内查找的复杂度 = O(log{2}M/2 ) ~ O(log{2}M-1 ) ;
故：最终时间复杂度 = [ O(log{2}M/2 ) ~ O(log{2}M-1 ) ] * [ log{M/2} N ~ log{M-1}N ]

但，实际应用情况不是这样，实际时间主要消耗在，从上级节点访问下级节点的过程中，因为访问节点其实是访问外存；

（关键理解点）B树查找过程中，IO操作即为进入节点的操作，当查找过程中需要访问到磁盘上的节点时，就需要进行IO操作将节点从磁盘读取到内存中。

所以主要的时间消耗为：[ log{M/2} N ~ log{M-1}N ] 次访问外存的次数 ！！！！

对于N = 62*1000000000个节点，如果度M为1024，则$lo{g}_{M/2}N$ <=
4，即在620亿个元素中，如果这棵树的度为1024，则需要小于4次即可定位到该节点，然后利用二分查找可以快速定位到该元素，大大减少了读取磁盘的次数。

B树的作用

数据库索引：B树常被用作数据库的索引结构，能够高效地支持数据的查找和范围查询。

文件系统：B树被用于文件系统中的目录结构，可以高效地支持文件的查找和管理。

缓存系统：B树可以用于缓存系统中的索引结构，加速数据的访问和查询。

路由表：B树可以用于路由表的存储和查找，快速定位目标地址。

B+树基本规则

1. 分支节点的子树指针与关键字个数相同
2. 分支节点的子树指针p[i]指向关键字值大小在[k[i]，k[i+1])区间之间
3. 所有叶子节点增加一个链接指针链接在一起
   所有关键字及其映射数据都在叶子节点出现（所有的数据都在最底一层存储）
4. 所有关键字都出现在叶子节点的链表中，且链表中的节点都是有序的。
5. 不可能在分支节点中命中数据（所有的数据都在最底一层存储）
6. 分支节点相当于是叶子节点的索引，叶子节点才是存储数据的数据层。
   

B+树 与 B树对比

先说结论：
1.B树更适合随机查找，B+树更适合范围查找
2.B+树相对更省空间
3.对数据进行插入、删除的时候B+树更高
原因：

1. B树的每个节点包含关键字和对应的指针，用于存储数据和构建索引。B树的节点可以直接存储数据，因此在查找时可以直接定位到数据所在的节点。
   B+树的每个节点只包含关键字，数据存储在叶子节点中。叶子节点之间通过指针连接形成一个有序链表，叶子节点上的关键字也构成一个有序序列。B+树的非叶子节点仅用于索引，不存储数据，这样可以减少非叶子节点的数量，提高内存利用率。
2. B树的节点既存储数据又存储索引，因此每个节点可以存储更多的数据。这样可以减少树的高度，提高查询效率。但是，由于B树的节点包含数据，插入和删除操作需要进行数据的移动和调整，相对较慢。
   B+树的非叶子节点仅用于索引，不存储数据，因此每个节点可以存储更多的索引。叶子节点之间通过指针连接形成有序链表，可以高效地进行顺序访问。同时，由于B+树的数据只存储在叶子节点中，插入和删除操作只需要调整索引节点，相对较快。

B*树基本规则

B*树是B+树的变形，在B+树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟节点的指针。

B*树 与 B+树对比

结论： B*树空间利用率比B+树高

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结
点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。

拓展

B+树的插入操作规则如下：

查找插入位置：从根节点开始，按照B+树的搜索规则找到插入位置。如果插入的关键字已经存在于树中，则根据具体情况进行处理（如替换、忽略或合并等）。

插入到叶子节点：将新的关键字插入到叶子节点中的适当位置。如果插入后导致叶子节点的关键字数量超过了阶数的上限，则进行分裂操作。

叶子节点分裂：将超过阶数上限的叶子节点分裂成两个节点。将一半的关键字移动到新的节点中，并调整指针连接。同时，将新节点的最小关键字插入到父节点中。

父节点调整：如果叶子节点的分裂导致父节点关键字数量超过了阶数的上限，则进行递归的分裂操作。将超过阶数上限的父节点分裂成两个节点，并将新节点的最小关键字插入到父节点的父节点中。

递归调整：如果父节点的分裂导致祖先节点关键字数量超过了阶数的上限，则继续进行递归的分裂操作，直到根节点。

根节点分裂：如果根节点的分裂导致树的高度增加，则创建一个新的根节点，并将原来的根节点分裂成两个节点。将新的根节点的最小关键字插入到新的根节点中，并调整指针连接。