顾樵量子力学I 导读（1）

顾樵量子力学I 导读（1）
波函数与薛定谔方程

$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\bigtriangledown^2\Psi + V(r)\Psi$
- 薛定谔方程的获得
  - 经典电磁波理论与德布罗意关系
$\bigtriangledown^2\psi(r)+(\frac{2\pi}{\lambda})^2\psi(r)=0$

$p=\frac{h}{2\lambda},T=\frac{p^2}{2m}=E-V(r)$
- 波函数的性质
  - 波函数是平方可积函数（归一化条件）
  - 波函数和波函数的导数是连续的
  - 波函数的单值的
  - 波函数在势场奇点以外的地方连续
- 力学量的平均值与期待值
  - 粒子动量的期望值 $<p>=m\frac{d<x>}{dt}$
  - Ehrenfest's theorem $\frac{d<p>}{dt}=<-\frac{\partial V}{\partial x}>$
- 自由粒子的速度
  - 概率密度 $\rho\equiv |\Psi|^2$
  - current density of probability $J\equiv -\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\Psi_x-\Psi^*_x\Psi)$
- bound state
  - 利用束缚本征态的叠加构造薛定谔方程的一般解
  - 束缚态粒子具有分立的能量
- scattering state
  - 量子力学的自由粒子不受束缚，可以出现在空间的任何位置
  - 量子力学的自由粒子具有连续变化的动量值与能量值（连续谱）
  - 量子力学的自由粒子对应的是经典力学中速度为常数的粒子
- 一维束缚态的性质
  - 能级非简并 nondegenerate
  - 本征函数为实函数
  - 本征函数正交，完备，封闭
一维势场模型
- 束缚态问题的一般解
$\Psi(x,t)=\sum c_n\psi_n(x)exp(-\frac{i}{\hbar}E_n t)$
- 无限深势阱
  - 这些本征函数对势阱中心是奇偶交替的
    even parity
    odd parity
  - 符合德布罗意驻波条件
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