【数据结构】时间复杂度和空间复杂度

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本文录入于《JAVA数据结构》专栏，本专栏是针对于大学生，编程小白精心打造的。笔者用重金(时间和精力)打造，将javaSE基础知识一网打尽，希望可以帮到读者们哦。

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内容分享：本期将会对时间与空间的复杂度进行讲解

目录

引入

时间复杂度

时间复杂度的概念

大O的渐进表示法  

大O阶表达方式

常见的时间复杂度计算

空间复杂度

常见的空间复杂度计算

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引入

这里提出一个问题，我们应该如何衡量一个算法的好坏？

这里就要提到算法效率了。算法效率分为两种：一种为时间效率，一种为空间效率。时间效率为称为时间复杂度，空间效率被称为空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，空间复杂度衡量的是一个算法所需要的空间。在计算机的早期，因为计算机空间小，我们队空间复杂度很重视。但是在经过一段的时间的发展后，计算机的内存变得庞大起来后，我们就不太关注空间复杂度了，而是比较关心时间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。 

大O的渐进表示法  

    void func1(int N){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < N ; i++) {
            for (int j = 0; j < N ; j++) {
                count++;
            }
        }
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

通过简单的计算我们可以得到 func的时间复杂度为：n^2+2*n+10 

但是在实际中我们计算时间复杂度的时候，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概的执行次数，这里就是我们的大O渐进表达法。

大O阶表达方式

1 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2 在修改后的运行次数函数中，加法中只保留最高阶项

3 如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶

那么，我们使用大O阶的渐进表示法后，func1的时间复杂度就是 O(n^2)

算法的时间复杂度是会存在最好，平均，最坏的情况：

最坏：任意输入规模的最大运行次数

平均：任意输入规模的期望运行次数

最好：任意输入规模的最小运行次数

一般情况下，我们关注的是最坏的运行情况

常见的时间复杂度计算

实例1

    void func2(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        } 
        System.out.println(count);
    }

实例一我们得到基本执行次数为2*n+10,通过大O阶表示，func2的时间复杂度为O(n)

实例2

   void func3(int N, int M) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < M; k++) {
            count++;
        } 
        for (int k = 0; k < N ; k++) {
            count++;
        } 
        System.out.println(count);
    }

func3基本执行次数为m+n次，又因为m n都是未知数，时间复杂度为O(n+m)

实例3

    void func4(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 100; k++) {
            count++;
        } 
        System.out.println(count);
    }

实例3基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，常数都为1得func4的复杂度为1

实例4

    void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            } if
            (sorted == true) {
                break;
            }
        }
    }

实例4我们采用最坏的基本操作执行了1/2*(n^2),大O阶推导就是n^2

实例5

    int binarySearch(int[] array, int value) {
        int begin = 0;
        int end = array.length - 1;
        while (begin <= end) {
            int mid = begin + ((end-begin) / 2);
            if (array[mid] < value)
                begin = mid + 1;
            else if (array[mid] > value)
                end = mid - 1;
            else
                return mid;
        } 
        return -1;
    }

实例5的最坏基本操作执行次数为log2N，时间复杂度为log2N

实例6

    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N - 1) * N;
    }

实例6的基本执行次数为n次，时间复杂度为n

实例7

    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N - 1) * N;
    }

实例7的基本操作执行次数为(1-2^N) / -1 , 时间复杂度为2^n

空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。 

常见的空间复杂度计算

话不多说，我们直接上代码：

实例1

    void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if
            (sorted == true) {
                break;
            }
        }

实例1使用了常数个空间，所以空间复杂度为O(1)

实例2

    long[] fibonacci(int n) {
        long[] fibArray = new long[n + 1];
        fibArray[0] = 0;
        fibArray[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n ; i++) {
            fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
        }
        return fibArray;
    }

实例二它动态开辟了n个空间，时间复杂度为O(n)

实例3

long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

实例3递归调用了n次，所以空间复杂度为O(n)

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