解密堆排序与TopK问题

📙作者简介： 清水加冰，目前大二在读，正在学习C/C++、Python、操作系统、数据库等。

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目录

 前言

1. 堆排序

1.1 时间复杂度

 1.1.1 向上调整（建堆）

 1.1.2 向下调整 (建堆）

 1. 2 排序实现

2. Topk问题

 2.1 什么是Topk问题

 2.2 Topk问题的解决

 2.2.1 造数据

 2.2.2 Topk的实现

总结

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 前言

        在二叉树的存储结构中提到堆可以进行排序，也就是今天的主题堆排序，堆的排序还可以解决Topk问题，今天我就向大家解密什么是堆排序和Topk问题，它们的原理又是什么。

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1. 堆排序

        堆是一种特殊的完全二叉树，堆排序是一种基于二叉堆数据结构的排序算法。堆排序是利用堆的特性来对堆中的数据进行排序，那么问题来了：

        如果我们要排升序，需要建大堆还是小堆？绝大多数人的第一反应是建小堆，但建小堆真的可以将数据进行升序排列吗？

         我们看下边这棵树，如果是小堆，那如何去找第二小的数？我们需要根据堆的特性，对数据进行调整位置，来达到排序的问题。

 显然小堆是无法做到的，要想排升序就必须要建大堆。大堆排升序思路如下：

         大堆的根是整棵树中最大的值，那我们就可以让根和最后一个节点进行交换（70和10进行交换），然后将剩下的节点进行调整（不包含70），调整后的根就是第二大的数。

 然后继续上述操作，将56和15进行交换，然后再进行调整，以此类推，最终数据就会被排为升序。

总结来说，堆排序主要有两大步骤：

• 建堆
• 调整数据

 建堆，我们可以选择向上调整或者向下调整。

调整数据部分，必须为向下调整。

1.1 时间复杂度

        说到了排序，那就必须要谈一谈它的性能如何？也就是它的时间复杂度。

 1.1.1 向上调整（建堆）

         向上调整的思路是从孩子（叶子节点）开始调整，最坏调整到根节点，调整情况如下：

         每层的数据个数 * 每层调整次数=一层最多执行的次数。那要求的是总共需要执行的次数就是每层的执行次数之和。我们设总的执行次数为T(h)。

所以：T(h)=2^1*1 + 2^2*2 + 2^3*3 … +2^(h-2)*(h-2) + 2^(h-1)*(h-1)  ；

计算部分为高中数学的知识，私下可以验算一下，最终的结果为：T(h)=(h-2)* 2^h+2，

将h代换成N(节点个数)，N=2^h-1，h=log(N+1)，

T(N)=( log (N+1) - 2 )  *  (N+1) + 2（此处的log以2为底），最终就约等于N*log N

所以向上调整建堆的时间复杂度就是O(N*log N)。

 1.1.2 向下调整 (建堆）

         向下调整是从根节点开始，最坏调整到叶子节点，调整情况如下：

         这里我们可以看出，向下调整的时间复杂度和向上调整不同，我们设总的执行次数为T(h)。

T(h)=2^0*(h-1) + 2^1*(h-2) + 2^2*(h-3) … +2^(h-3)*2 + 2^(h-2)*1 ； 

最终的结果为：T(h)=2^h-h-1 ；

将h代换成N(节点个数)，N=2^h-1，h=log(N+1)；

T(N)=N-log(N+1)；最终就约等于N；

所以向下调整建堆的时间复杂度就是O(N)； 

 注意：这里要区分清，是建堆操作还是调整操作，单一的执行一次调整，向上调整和向下调整的时间复杂度都是log N。

 1. 2 排序实现

void HeapSort(int* arr, int n)
{
	//向上调整建堆，时间复杂度O(N*log N)
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(arr, i);
	}
	//向下调整建堆，时间复杂度O(N)
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, n, i);
	}
 
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		swap(&arr[0], &arr[end]);
		AdjustDown(arr, end, 0);
		end--;
	}
 
}

注意：

        向上调整时我们需要保证上方的数据结构是堆，所以这里我们从头开始读入数据，读一个数据就调整一次。这样就可以确保每次调整时，其他的数据都是堆结构。

        向下调整的前提是左右子树都为堆结构，所以我们需要保证左右子树都为堆，这里我们传参时不能从头开始，要从倒数第一个的非叶子节点开始（最后一个父节点），从后向前进行调整建堆。

 向上调整

这里我们建的是大堆 。

void AdjustUp(int* arr,int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (arr[parent] < arr[child])//建大堆排升序
		{
			swap(&arr[parent], &arr[child]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

向下调整

void AdjustDown(int* arr, int n,int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child 
	{
		if (child+11] > arr[child])
		{
			child++;
		}
		if (arr[parent] < arr[child])
		{
			swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

2. Topk问题

 2.1 什么是Topk问题

        Top-K问题是指从一组元素中找出前K个最大（或最小）的元素。这个问题在数据处理和算法设计中经常遇到，常见的应用场景包括搜索引擎中的搜索结果排序、推荐系统中的物品推荐、数据分析中的数据筛选等。

Topk问题，我们就可以使用堆来解决，对于Top-K问题，一般有两种情况：

• 找出前K个最大的元素：可以使用最小堆来解决，维护一个大小为K的最小堆，遍历所有元素，将每个元素与堆顶元素进行比较，如果大于堆顶元素，则将堆顶元素替换为当前元素，并进行堆调整。最终堆中的元素即为前K个最大的元素。
• 找出前K个最小的元素：可以使用最大堆来解决，维护一个大小为K的最大堆，遍历所有元素，将每个元素与堆顶元素进行比较，如果小于堆顶元素，则将堆顶元素替换为当前元素，并进行堆调整。最终堆中的元素即为前K个最小的元素。

        通过解决Top-K问题，可以快速获取数据中的重要信息，提高算法的效率和性能。

 2.2 Topk问题的解决

 2.2.1 造数据

         为了模拟实现Topk问题在现实生活中的应用，所以在测试时我们需要采用大量的数据进行测试，我们自己手动输入是远远不够的，所以我们这里采用strand函数进行造数据。

void CreateNDate()
{
	// 造数据
	int n = 1000000;
	srand(time(0));
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
 
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		int x = rand() % 10000000;
		fprintf(fin, "%d\n", x);
	}
 
	fclose(fin);
}

        这里我们造了100万个数据。将数据默认放到了一个data.txt的文件中。我们先运行一下这个函数接口，然后打开在程序的当前路径下找到data.txt文件，将任意的k个数据手动修改（可以前边加4个9，增加辨识度）确保判断找出的数据为前k的最值。这里我们选择找出前k个最大的数据。

注意：造完数据后要将造数据接口注释掉，修改数据后记得将文件保存

 2.2.2 Topk的实现

         根据上述的思路，要想找到前k个最大的数据，就需要建小堆，这样堆顶就是堆中最小的数据，比堆顶大就置为根入堆，最后将所有数据遍历一遍之后，留在堆里的数据就是前k个最大的数据。

这里我们依然需要前边的调整代码。具体代码如下：

void PrintTopK(const char* filename,int k) {
    //打开文件，读取数据
	FILE* fout = fopen(filename, "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		return;
	}
    
    //建堆
	int* setHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (setHeap == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
    //读取前k个数据建堆
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fout, "%d", &setHeap[i]);
	}
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		AdjustUp(setHeap, k);
	}
    
    //遍历入堆
	int x = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
	{
        
		if (x > setHeap[0])    //比堆顶大就入堆
		{
			setHeap[0] = x;
			AdjustDown(setHeap, k, 0);    //入堆之后向下调整
		}
	}
	
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", setHeap[i]);
	}
	printf("\n");
 
	fclose(fout);
}

建小堆调整代码

void swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
void AdjustUp(int* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (arr[parent] > arr[child])//建大堆排升序
		{
			swap(&arr[parent], &arr[child]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void AdjustDown(int* arr, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child])
		{
			child++;
		}
		if (arr[parent] > arr[child])
		{
			swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

main接口：

int main()
{
	//CreateNDate();
	PrintTopK("data.txt", 7);
	return 0;
}

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总结

        本篇博客主要介绍了堆排序算法及其在解决TopK问题中的应用。通过对堆排序的原理和实现步骤的详细讲解，我们可以更好地理解和掌握这一经典的排序算法。同时，通过解决TopK问题的实例，我们也可以看到堆排序在实际应用中的价值和优势。希望本篇博客能够为你提供一些有用的思考和启发。最后，感谢阅读！