• 无穷级数（数学一）

    一、级数判敛

    1、抽象型级数判敛（选择题）

    （1）常用结论：

            1、绝对收敛 +\- 绝对收敛 = 绝对收敛

            2、绝对收敛 +\- 条件收敛 = 条件收敛

            3、条件收敛 +\- 条件收敛 = 收敛

            4、若\sum u_{n}收敛，则\sum u_{2n-1}+u_{2n}收敛，但\sum u_{2n-1}-u_{2n}不确定

            5、发散+发散 = 不确定

    （2）🌟比较审敛法

    基本不等式：a_n^2 + b_n^2 \leq (a_n + b_n)^2  、2\sqrt{a_nb_n} \leq a_n + b_n、(\int^b_{a}f(x)g(x))^2 \leq \int^{b}_{a}f^{2}(x)dx\int^{b}_{a}g^2(x)dx

    重要尺度：\frac{1}{n},\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{nlnn},\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}

    \sum |b_n|绝对收敛可以推\sum b_n收敛，但\sum |b_n|发散无法得知\sum b_n发散。

    对于C、因为lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 0，所以，{|a_n|}必定存在下界M，|a_nb_n| \leq M|b_n|，由比较审敛法可以得级数收敛。

    2、具体级数判敛

    （1）交错级数：🌟只可能绝对收敛或者发散，用不了莱布尼兹就必定绝对收敛

    *莱布尼兹判敛法（充分不必要条件）

            在证明u_{n+1} \leq u_n时，可以构造函数、利用初等不等式

    *绝对收敛：绝对收敛➡️原级数收敛

    （2）正项级数：比较审敛法+放缩\常用尺度（大收小收，小散大散），极限审敛法(sinx,cosx,n!)，积分判别法（常规难做的），根值判别法（n次方）

    （3）等价无穷小之间敛散性相同（利用泰勒公式）tanx，e^x，sinx

    （4）前n项和极限存在，级数收敛（充分必要条件）

    等价无穷小同敛散

    \sum |\frac{n+a}{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}|与\frac{1}{\sqrt{n}}是等价无穷小，敛散性相同，所以发散，排除A，D

    由莱布尼兹得知，\sum (-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}} ,\sum (-1)^n(a-1)\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}收敛，所以条件收敛

    二、求和函数及展开

    1、求和函数

    （1）先积后导，先导后积，泰勒公式

    （2）解线性微分方程

    解线性方程求和函数


    2、求和

    3、和函数的展开

    （1）在x = x0处展开

    麦克劳林公式：

    f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n（还可以用于求f的n阶导）

    (2)直接用泰勒展开

    三、求收敛域、收敛区间

    （1）收敛域要判断端点敛散性

    （2）lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho \rightarrow R = \frac{1}{\rho}，反向是无法推出来的。也就是说可能存在收敛半径，但极限不存在。

    （3）可以适用根值法

    （4）非幂级数的收敛域，换元，转换为幂级数

    ​​​​​​​

    四、傅里叶级数

    a_n = \frac{1}{l} \int_{l}^{-l}f(x)cos\frac{n\pi}{l}x, b_n = \frac{1}{l} \int_{l}^{-l}f(x)sin\frac{n\pi}{l}x\\\\f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum(a_ncos\frac{n\pi}{l}x + b_nsin\frac{n\pi}{l}x)

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