蓝桥杯2023年第十四届省赛真题-平方差--题解

蓝桥杯2023年第十四届省赛真题-平方差

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题目描述

给定 L, R，问 L ≤ x ≤ R 中有多少个数 x 满足存在整数 y,z 使得 x = y2 − z2。

输入格式

输入一行包含两个整数 L, R，用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数满足题目给定条件的 x 的数量。

样例输入

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1 5

样例输出

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4

提示

1 = 1^2 − 0^2 ；

3 = 2^2 − 1^2 ；

4 = 2^2 − 0^2 ；

5 = 3^2 − 2^2 。

对于 40% 的评测用例，LR ≤ 5000 ；

对于所有评测用例，1 ≤ L ≤ R ≤ 10^9 。

【思路解析 】

在暴力尝试中总结答案的规律

【代码实现】

import java.util.Scanner;
 
/**
 * @ProjectName: study3
 * @FileName: Ex1
 * @author:HWJ
 * @Data: 2023/9/16 22:27
 */
public class Ex1 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int L = input.nextInt();
        int R = input.nextInt();
        //System.out.println(getNums2(L, R));
        System.out.println(getNums3(L, R));
    }
 
    public static int getNums1(int L, int R){
        // 这个方法可行，但是时间复杂度为O(N^2)，不满足题目要求
        int s = (R + 1) / 2;
        int e = (int) Math.sqrt(L) + 1;
        int ans = 0;
        boolean[] have = new boolean[R - L + 1];
        for (int i = s; i >= e; i--) {
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                int a = (i + j) * (i - j);
                if (a >= L && a <= R && !have[a - L]) {
                    ans++;
                    have[a - L] = true;
                } else if (a > R) {
                    break;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
 
    public static int getNums2(int L, int R){
        // 通过观察所有可行的x发现 x要么为奇数要么为4的倍数
        int ans = 0;
        for (int i = L; i <= R; i++) {
            if (i % 4 == 0 || i % 2 != 0){
                ans++;
            }
        }
        return ans;
    }
 
    public static int getNums3(int L, int R){
        // 通过观察所有可行的x发现 x要么为奇数要么为4的倍数
        // 得到这个规律后，可以统计这样的数目应当为 F(R) = R / 4 + (R + 1) / 2;假设 L == 1
        // 所以实际数目应该为F(R) - F(L - 1)
 
        return (R / 4 + (R + 1) / 2) - ((L - 1) / 4 + (L) / 2);
    }
}