• 【LeetCode题目详解】第九章 动态规划part13 300.最长递增子序列 674. 最长连续递增序列 718. 最长重复子数组 （day52补）

    本文章代码以c++为例！

    一、力扣第300题：最长递增子序列

    题目：

    给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

    子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

    示例 1：

    输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

    示例 2：

    输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

    示例 3：

    输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

    提示：

    • 1 <= nums.length <= 2500
    • -104 <= nums[i] <= 104

    进阶：

    • 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

    思路

    首先通过本题大家要明确什么是子序列，“子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序”。

    本题也是代码随想录中子序列问题的第一题，如果没接触过这种题目的话，本题还是很难的，甚至想暴力去搜索也不知道怎么搜。 子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标i的递增子序列长度，其实和i之前的下表j的子序列长度有关系，那又是什么样的关系呢。

    接下来，我们依然用动规五部曲来详细分析一波：

    1. dp[i]的定义

    本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。

    dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

    为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。

    1. 状态转移方程

    位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

    所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

    注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

    1. dp[i]的初始化

    每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

    1. 确定遍历顺序

    dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

    j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

    遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：

    1. for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    2.     for (int j = 0; j < i; j++) {
    3.         if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    4.     }
    5.     if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
    6. }
    1. 举例推导dp数组

    输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

    300.最长上升子序列

    如果代码写出来，但一直AC不了，那么就把dp数组打印出来，看看对不对！

    以上五部分析完毕，C++代码如下：

    1. class Solution {
    2. public:
    3.     int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
    4.         if (nums.size() <= 1) return nums.size();
    5.         vector<int> dp(nums.size(), 1);
    6.         int result = 0;
    7.         for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    8.             for (int j = 0; j < i; j++) {
    9.                 if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    10.             }
    11.             if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
    12.         }
    13.         return result;
    14.     }
    15. };
    • 时间复杂度: O(n^2)
    • 空间复杂度: O(n)

    # 总结

    本题最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

    子序列问题是动态规划的一个重要系列，本题算是入门题目，好戏刚刚开始！

    二、力扣第674题：最长连续递增序列

    题目：

    给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

    连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

    示例 1：

    输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

    示例 2：

    输入：nums = [2,2,2,2,2]
输出：1
解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。

    提示：

    • 1 <= nums.length <= 104
    • -109 <= nums[i] <= 109

    思路

    本题相对于昨天的动态规划：300.最长递增子序列

    (opens new window)最大的区别在于“连续”。

    本题要求的是最长连续递增序列

    # 动态规划

    动规五部曲分析如下：

    1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

    dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

    注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。

    1. 确定递推公式

    如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

    即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

    注意这里就体现出和动态规划：300.最长递增子序列

    (opens new window)的区别！

    因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

    既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

    这里大家要好好体会一下！

    1. dp数组如何初始化

    以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。

    所以dp[i]应该初始1;

    1. 确定遍历顺序

    从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

    本文在确定递推公式的时候也说明了为什么本题只需要一层for循环，代码如下：

    1. for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    2.     if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
    3.         dp[i] = dp[i - 1] + 1;
    4.     }
    5. }
    1. 举例推导dp数组

    已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

    674.最长连续递增序列

    注意这里要取dp[i]里的最大值，所以dp[2]才是结果！

    以上分析完毕，C++代码如下：

    1. class Solution {
    2. public:
    3.     int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
    4.         if (nums.size() == 0) return 0;
    5.         int result = 1;
    6.         vector<int> dp(nums.size() ,1);
    7.         for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    8.             if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
    9.                 dp[i] = dp[i - 1] + 1;
    10.             }
    11.             if (dp[i] > result) result = dp[i];
    12.         }
    13.         return result;
    14.     }
    15. };
    16.
    • 时间复杂度：O(n)
    • 空间复杂度：O(n)

    # 贪心

    这道题目也可以用贪心来做，也就是遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值就可以了。

    代码如下：

    1. class Solution {
    2. public:
    3.     int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
    4.         if (nums.size() == 0) return 0;
    5.         int result = 1; // 连续子序列最少也是1
    6.         int count = 1;
    7.         for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    8.             if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
    9.                 count++;
    10.             } else { // 不连续，count从头开始
    11.                 count = 1;
    12.             }
    13.             if (count > result) result = count;
    14.         }
    15.         return result;
    16.     }
    17. };
    • 时间复杂度：O(n)
    • 空间复杂度：O(1)

    # 总结

    本题也是动规里子序列问题的经典题目，但也可以用贪心来做，大家也会发现贪心好像更简单一点，而且空间复杂度仅是O(1)。

    在动规分析中，关键是要理解和动态规划：300.最长递增子序列

    (opens new window)的区别。

    要联动起来，才能理解递增子序列怎么求，递增连续子序列又要怎么求。

    概括来说：不连续递增子序列的跟前0-i 个状态有关，连续递增的子序列只跟前一个状态有关

    三、力扣第718题：最长重复子数组

    题目：

    给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。

    示例 1：

    输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。

    示例 2：

    输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0]
输出：5

    提示：

    • 1 <= nums1.length, nums2.length <= 1000
    • 0 <= nums1[i], nums2[i] <= 100

    思路

    注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列。

    要求两个数组中最长重复子数组，如果是暴力的解法 只需要先两层for循环确定两个数组起始位置，然后再来一个循环可以是for或者while，来从两个起始位置开始比较，取得重复子数组的长度。

    本题其实是动规解决的经典题目，我们只要想到 用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推 递推公式了。 动规五部曲分析如下：

    1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

    dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

    此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。

    其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。

    那有同学问了，我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？

    行倒是行！ 但实现起来就麻烦一点，需要单独处理初始化部分，在本题解下面的拓展内容里，我给出了 第二种 dp数组的定义方式所对应的代码和讲解，大家比较一下就了解了。

    1. 确定递推公式

    根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

    即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

    根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

    1. dp数组如何初始化

    根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

    但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

    所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

    举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

    1. 确定遍历顺序

    外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

    那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？

    也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。

    同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。

    代码如下：

    1. for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
    2.     for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
    3.         if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
    4.             dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
    5.         }
    6.         if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
    7.     }
    8. }
    9.
    1. 举例推导dp数组

    拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

    718.最长重复子数组

    以上五部曲分析完毕，C++代码如下：

    1. // 版本一
    2. class Solution {
    3. public:
    4.     int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    5.         vectorint>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
    6.         int result = 0;
    7.         for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
    8.             for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
    9.                 if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
    10.                     dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
    11.                 }
    12.                 if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
    13.             }
    14.         }
    15.         return result;
    16.     }
    17. };
    • 时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度
    • 空间复杂度：O(n × m)

    # 滚动数组

    在如下图中：

    718.最长重复子数组

    我们可以看出dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组，也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。

    也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。

    此时遍历B数组的时候，就要从后向前遍历，这样避免重复覆盖。

    1. // 版本二
    2. class Solution {
    3. public:
    4.     int findLength(vector<int>& A, vector<int>& B) {
    5.         vector<int> dp(vector<int>(B.size() + 1, 0));
    6.         int result = 0;
    7.         for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
    8.             for (int j = B.size(); j > 0; j--) {
    9.                 if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
    10.                     dp[j] = dp[j - 1] + 1;
    11.                 } else dp[j] = 0; // 注意这里不相等的时候要有赋0的操作
    12.                 if (dp[j] > result) result = dp[j];
    13.             }
    14.         }
    15.         return result;
    16.     }
    17. };
    • 时间复杂度：$O(n × m)$，n 为A长度，m为B长度
    • 空间复杂度：$O(m)$

    # 拓展

    前面讲了 dp数组为什么定义：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。

    我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？

    当然可以，就是实现起来麻烦一些。

    如果定义 dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，那么 第一行和第一列毕竟要进行初始化，如果nums1[i] 与 nums2[0] 相同的话，对应的 dp[i][0]就要初始为1， 因为此时最长重复子数组为1。 nums2[j] 与 nums1[0]相同的话，同理。

    所以代码如下：

    1. // 版本三
    2. class Solution {
    3. public:
    4.     int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    5.         vectorint>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
    6.         int result = 0;
    7.  
    8.         // 要对第一行，第一列经行初始化
    9.         for (int i = 0; i < nums1.size(); i++) if (nums1[i] == nums2[0]) dp[i][0] = 1;
    10.         for (int j = 0; j < nums2.size(); j++) if (nums1[0] == nums2[j]) dp[0][j] = 1;
    11.  
    12.         for (int i = 0; i < nums1.size(); i++) {
    13.             for (int j = 0; j < nums2.size(); j++) {
    14.                 if (nums1[i] == nums2[j] && i > 0 && j > 0) { // 防止 i-1 出现负数
    15.                     dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
    16.                 }
    17.                 if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
    18.             }
    19.         }
    20.         return result;
    21.     }
    22. };

    大家会发现 这种写法 一定要多写一段初始化的过程。

    而且为了让 if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j]; 收集到全部结果，两层for训练一定从0开始遍历，这样需要加上 && i > 0 && j > 0的判断。

    对于基础不牢的小白来说，在推导出转移方程后可能疑惑上述代码为什么要从i=0,j=0遍历而不是从i=1,j=1开始遍历，原因在于这里如果不是从i=0,j=0位置开始遍历，会漏掉如下样例结果：

    1. nums1 = [70,39,25,40,7]
    2. nums2 = [52,20,67,5,31]

    当然，如果你愿意也可以使用如下代码，与上面那个c++是同一思路：

    1. class Solution {
    2.     public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
    3.         int len1 = nums1.length;
    4.         int len2 = nums2.length;
    5.         int[][] result = new int[len1][len2];
    6.  
    7.         int maxresult = Integer.MIN_VALUE;
    8.  
    9.         for(int i=0;i
    10.             if(nums1[i] == nums2[0])
    11.                 result[i][0] = 1;
    12.             if(maxresult0])
    13.                     maxresult = result[i][0];
    14.         }
    15.  
    16.         for(int j=0;j
    17.             if(nums1[0] == nums2[j])
    18.                 result[0][j] = 1;
    19.             if(maxresult0][j])
    20.                 maxresult = result[0][j];
    21.         }
    22.  
    23.         for(int i=1;i
    24.             for(int j=1;j
    25.  
    26.                 if(nums1[i]==nums2[j])
    27.                     result[i][j] = result[i-1][j-1]+1;
    28.  
    29.                 if(maxresult
    30.                     maxresult = result[i][j];
    31.  
    32.             }
    33.  
    34.         }
    35.  
    36.         return maxresult;
    37.     }
    38. }

    对于小白来说一定要明确dp数组中初始化的数据是什么

    整体而言相对于版本一来说还是多写了不少代码。而且逻辑上也复杂了一些。 优势就是dp数组的定义，更直观一点。

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