【数据结构】树和二叉树概念

1.树概念及结构

树概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树的相关概念

• 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度。
• 叶结点（终端结点）：度为0的结点称为叶结点。
• 非终端结点（分支结点）：度不为0的结点。
• 父结点（双亲结点）：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点。
• 子结点（孩子结点）：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点。
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点。
• 树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度。
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子结点为第二层，以此类推。
• 树的高度（树的深度）：树中结点的最大层次。
• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互称为堂兄弟结点。
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
• 森林：由m(m>0)棵互不相交的树组成的集合称为森林。

树的表示

树结构相对于线性表就比较复杂了，要存储和表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方法。如：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。其中最常用的是孩子兄弟表示法。
孩子兄弟表示法中，所定义的结点类型大致是这样的：

typedef int DataType

struct Node{
	struct Node* firstChild;   //第一个孩子结点
	struct Node* nextBrother;  //指向下一个兄弟结点
	DataType data;             //结点中的数据域
};
1
2
3
4
5
6
7

对于任意树，我们都可以用孩子兄弟法访问到树中的每一个结点：

树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树的概念及结构

二叉树概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

满二叉树和完全二叉树

• 满二叉树：一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且结点总数是2的k次方-1，则它就是满二叉树。
• 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K，有N个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至N的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

• 性质一：若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2的(i-1)次方个结点。

• 性质二：若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数为2的h次方-1个结点。

• 性质三：对任何一棵二叉树，如果度为0的叶结点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2，则有n0 = n2+1。

• 性质四：若规定根结点的层数为1，则具有N个结点的满二叉树的深度h = log2(N+1)。

• 性质五：对于具有N个结点的完全二叉树，如果按照从上至下、从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，

  则对于序号为i的结点：

  若 i > 0，则该结点的父结点序号为：( i - 1) / 2；若 i = 0，则无父结点。

  若2i + 1 < N，则该结点的左孩子序号为：2i + 1；若2i + 1 >= N，则无左孩子。

  若2i + 2 < N，则该结点的右孩子序号为：2i + 2；若2i + 2 >= N，则无右孩子。

二叉树的存储结构

顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实生活中只有堆（一种二叉树）才会使用数组来存储。二叉树的顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一棵二叉树。

链式结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素之间的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来存储该结点左孩子和右孩子所在的结点的地址。
链式结构又分为二叉链和三叉链，之后我们会用二叉链来实现二叉树的链式存储结构，三叉链运用于更高阶的数据结构，例如红黑树。