算法训练day43|动态规划 part05：0-1背包 (LeetCode 1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474.一和零)

1049. 最后一块石头的重量 II (求最大重量)

题目链接🔥🔥
有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例：
输入：[2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

提示：
1 <= stones.length <= 30
1 <= stones[i] <= 1000

思路分析

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
并且和分割等和子集很像了。

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。

可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。

相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”

2. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i]，看着有点晕乎。

大家可以再去看 dp[j]的含义。

3. dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和的一半。
因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

4. 确定遍历顺序

如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

5. 举例推导dp数组
   

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

代码实现

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int sum=0;
        for(int i:stones){
            sum+=i;
        }
        int target=sum/2;
        vector<int> dp(target+1,0);
        for(int i=0;i<stones.size();i++){
            for(int j=target;j>=stones[i];j--){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
            }
        }
        int result=sum-2*dp[target];
        return result;
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

---

494. 目标和 (求组合方法数)

题目链接🔥🔥

给定一个非负整数数组，a1, a2, …, an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例：
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
输出：5
解释：
-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3
一共有5种方法让最终目标和为3。

提示：
数组非空，且长度不会超过 20 。
初始的数组的和不会超过 1000 。
保证返回的最终结果能被 32 位整数存下

思路分析

这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。

本题要如何使表达式结果为target，

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left

公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就转化为，装满容量为left的背包，有几种方法。

大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了，例如sum 是5，target是2的话其实就是无解的，所以：

if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
1

同时如果target的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。

if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
1

动规方法

这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法

2. 确定递推公式

有哪些来源可以推出dp[j]呢？

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

dp[j] += dp[j - nums[i]]
1

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

3. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。

这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。

其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少。

如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。

所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。

可能有同学想了，那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。

其实 此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零 子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。

dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。

4. 确定遍历顺序

对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

5. 举例推导dp数组

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
dp数组状态变化如下：

代码实现

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum=0;
        for(int i:nums) sum+=i;
        if(abs(target)>sum) return 0;
        if((target+sum)%2) return 0;
        int bagsize=(target+sum)/2;
        vector<int> dp(bagsize+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            for(int j=bagsize;j>=nums[i];j--){
                dp[j]+=dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagsize];
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

总结思考

本题还是有点难度，大家也可以记住，在求装满背包有几种方法（仅仅是求个数，不用把所有组合列出来）的情况下，递推公式一般为：

dp[j] += dp[j - nums[i]];
1

后面我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！

---

474.一和零 (求二维背包的最大物品数)

题目链接🔥🔥
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 ：
输入：strs = [“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {“10”,“0001”,“1”,“0”} ，因此答案是 4 。 其他满足题意但较小的子集包括 {“0001”,“1”} 和 {“10”,“1”,“0”} 。{“111001”} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：
输入：strs = [“10”, “0”, “1”], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {“0”, “1”} ，所以答案是 2 。

提示：
1 <= strs.length <= 600
1 <= strs[i].length <= 100
strs[i] 仅由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成
1 <= m, n <= 100

思路分析

多重背包是每个物品，数量不同的情况。

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！

而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。本题其实还是01背包问题

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。

3. dp数组如何初始化

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。

因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序

01背包一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！

那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？

没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都行！

5. 举例推导dp数组

代码实现

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int> (n+1,0));
        for(string str:strs){ // 遍历物品
            int zeronums=0,onenums=0;
            for(char c:str){
                if(c=='0') zeronums++;
                else onenums++;
            }
            for(int i=m;i>=zeronums;i--){  // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for(int j=n;j>=onenums;j--){
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-zeronums][j-onenums]+1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

思考总结

此时我们讲解了0-1背包的多种应用，

纯0-1背包 是求 给定背包容量 装满背包 的最大价值是多少。
416. 分割等和子集 是求 给定背包容量，能不能装满这个背包。
1049. 最后一块石头的重量 II 是求 给定背包容量，尽可能装，最多能装多少
494. 目标和是求 给定背包容量，装满背包有多少种方法。
本题是求 给定背包容量，装满背包最多有多少个物品。

---