单正态总体和双正态总体的假设检验

1.单正态总体和双正态总体的假设检验

笔者之前的相关笔记：
1.正态总体下常见的抽样分布
2.假设检验（Hypothesis Testing）

个人理解假设检验：先对总体参数提出一个假设值，利用样本信息判断这一假设是采取拒绝该假设还是无法拒绝该假设

1.1 假设检验的步骤

1.根据给定的问题，建立假设$H_0$（带等号的）和备择假设$H_1$

下图来自《统计学图鉴》

2.根据假设条件，选择合适的检验统计量$T$，当$H_0$为真时，确定该统计量的分布
（1）${\sigma }^2$已知，检验$\mu$
（2）${\sigma }^2$未知，检验$\mu$
（3）$\mu$已知，检验${\sigma }^2$
（4）$\mu$未知，检验${\sigma }^2$

3.根据$H1$的形式判断使用单侧检验还是双侧检验，根据显著性水平$\alpha$（犯第一类错误的概率）及样本容量$n$，确定$H_0$的拒绝域$W$
（总参$\ne$备择假设的参数时使用双侧检验）
（总参$>$备择假设的参数时使用右侧检验）
（总参$<$备择假设的参数时使用左侧检验）
下图来自：Statistics for Analytics and Data Science: Hypothesis Testing and Z-Test vs. T-Test

4.将样本值代入统计量$T$中进行计算，若值落在拒绝域（小概率事件发生），则拒绝原假设$H_0$，若值落在接受域（大概率事件发生）则无法拒绝原假设$H_0$

下图来自：单侧假设检验与双侧的区别是什么?

最终对假设的判断有两类错误

第一类错误（假阳性，弃真）

第二类错误（假阴性，存伪）

1.2 单正态总体的假设检验（对单个正态总体参数进行假设检验）

根据不同的问题，需要对$\mu$或者${\sigma }^2$进行检验，共四种情形
（1）${\sigma }^2$已知，检验$\mu$

（2）${\sigma }^2$未知，检验$\mu$

（3）$\mu$已知，检验${\sigma }^2$

（4）$\mu$未知，检验${\sigma }^2$

1.3 双正态总体的假设检验（对两个正态总体参数进行假设检验）

表中$S_w$的表达式
$$S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$$
（1）${\sigma }_1^2，{\sigma }_2^2$已知，检验${\mu }_1={\mu }_2$

（2）${\sigma }_1^2，{\sigma }_2^2$未知，但${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$，检验${\mu }_1={\mu }_2$

（3）${\mu }_1，{\mu }_2$未知，检验${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$