数制与逻辑代数

数制与数制的转换

• 二进制数至十六进制数
  • 从小数点开始向左按四位分节，最高位和低位不足四位时，添0补足四位分节，然后用一个等值的十六进制数代换。
• 十六进制数至二进制数
  • 将每个十六进制数用4位二进制来书写，其最左侧或最右侧的可以省去

例子

• 将(59.625)D转换为二进制数  (59.625)D=（101011.101)B

数字系统中数的表示方法与格式

十进制编码

8421 BCD码

• 在这种编码方式中，每一位二进制代码都代表一个固定的数值，把每一位中的1所代表的十进制数加起来，得到的结果就是它所代表的十进制数码。由于代码中从左到右每一位中的1分别表示8、4、2、1（权值），即从左到右，它的各位权值分别是8、4、2、1。所以把这种代码叫做8421码。8421 BCD码是只取四位自然二进制代码的前10种组合。
• 对于0~9的十进制数，其8421BCD码与其二进制码相同。
• 对于10~15的十进制数，其8421BCD码为其二进制码加上0110
  • 如 (160)_10 = (0001 0110 0000)_8421BCD

2421码

• 从左到右，它的各位权值分别是2、4、2、1。与每个代码等值的十进制数就是它表示的十进制数。在2421码中，0与9的代码、1与8的代码、2与7的代码、3与6的代码、4与5的代码均互为反码。

余3码

• 余3码是一种特殊的BCD码，它是由8421 BCD码加3后形成的，所以叫做余3码。

格雷码 

• 二进制码到格雷码的转换  
  • （1）格雷码的最高位（最左边）与二进制码的最高位相同。
  • （2）从左到右，逐一将二进制码的两个相邻位相加，作为格雷码的下一位（舍去进位）。
  • （3）格雷码和二进制码的位数始终相同。
•  格雷码到二进制码的转换
  • （1）二进制码的最高位（最左边）与格雷码的最高位相同。
  • （2）将产生的每个二进制码位加上下一相邻位置的格雷码位，作为二进制码的下一位（舍去进位）。

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• 反码
  • 正数的反码的二进制表示和原码相同，而负数的反码的二进制表示则是对其绝对值的原码取反
• 补码
  • 正数的反码的二进制表示和原码相同，而负数的反码的二进制表示则是对其绝对值的原码取反，再将结果加1
  • 可以避免+0和-0的问题，并且可以用来进行加减运算

例题

• 求二进制数x = +1011，y = -1011在八位存贮器中的原码、反码和补码的表示形式。

[x]原码 = 00001011， [x]反码 = 00001011， [x]补码 = 00001011  

[y]原码 = 10001011， [y]反码 = 11110100， [y]补码 = 11110101

门电路

• 与
• 或
• 非
• 与非
• 或非
• 同或
• 异或
• 三态门
  • 高电平有效
  • 低电平有效

逻辑函数

逻辑代数基本规则

最小项

• 最小项的定义     设有n个变量，它们所组成的具有n个变量的“与”项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则这个乘积项称为最小项

最大项

• 设有n个变量，它们所组成的具有n个变量的“或”项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，这个“或”项称为最大项。

卡诺图

逻辑代数的基本定律和恒等式

• 0-1律
• 互补律
• 等幂律
• 双重否定律
• 交换律
• 结合律
• 分配率
• 反演律（摩根定律）(AB)'=A'+B';(A+B)'=A'B'
• 吸收律 AB+AB'=A;A+AB=A;A+A'B=A+B
• 冗余率 AB+A'C+BC=AB+A'C

反演规则

• 对于任意一个逻辑表达式L：若将其中，
  • 所有的与（• ）换成或（+）
  • 或（+）换成与（•）
  • 原变量换为反变量，反变量换为原变量
  • 将1换成0，0换成1
  • 则得到的结果就是原函数的反函数L

对偶规则

• 对于任何逻辑函数L，若将其中的
  • 与（• ）换成或（+），或（+）换成与（•）
  • 将1换成0，0换成1
  • 那么，所得的新的函数式就是L的对偶式
• 当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等

香农展开定理

• 任何一个逻辑函数f(x1,x2,...,xn)都可以重新表示为 xi'g(x1,x2,....xi-1,xi+1,....,xn) + xig(x1,x2,....,xi-1,xi+1,.....,xn)