前置知识：定积分的计算（牛顿-莱布尼茨公式）
计算
∫
0
2
(
x
2
−
2
x
+
3
)
d
x
\int_0^2(x^2-2x+3)dx
∫02(x2−2x+3)dx
解：
\qquad
原式
=
(
1
3
x
3
−
x
2
+
3
x
)
∣
0
2
=
(
8
3
−
4
+
6
)
−
0
=
14
3
=(\dfrac 13x^3-x^2+3x)\bigg\vert_0^2=(\dfrac 83-4+6)-0=\dfrac{14}{3}
=(31x3−x2+3x)
02=(38−4+6)−0=314
计算 ∫ 0 2 π ∣ sin x ∣ d x \int_0^{2\pi}|\sin x|dx ∫02π∣sinx∣dx
解：
\qquad
原式
=
∫
0
π
sin
x
d
x
−
∫
π
2
π
sin
x
d
x
=\int_0^{\pi}\sin xdx-\int_{\pi}^{2\pi}\sin xdx
=∫0πsinxdx−∫π2πsinxdx
= − cos x ∣ 0 π + cos x ∣ π 2 π \qquad\qquad =-\cos x\bigg\vert_0^{\pi}+\cos x\bigg\vert_{\pi}^{2\pi} =−cosx 0π+cosx π2π
= 1 + 1 + 1 + 1 \qquad\qquad =1+1+1+1 =1+1+1+1
= 4 \qquad\qquad =4 =4
计算 ∫ 0 π 1 − sin 2 x d x \int_0^{\pi}\sqrt{1-\sin 2x}dx ∫0π1−sin2xdx
解：
\qquad
原式
=
∫
0
π
1
−
(
cos
2
x
−
sin
2
x
)
d
x
=\int_0^{\pi}\sqrt{1-(\cos^2x-\sin^2x)}dx
=∫0π1−(cos2x−sin2x)dx
= 2 ∫ 0 π sin 2 x d x = 2 ∫ 0 π sin x d x \qquad\qquad =\sqrt 2\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^2 x}dx=\sqrt 2\int_0^{\pi}\sin xdx =2∫0πsin2xdx=2∫0πsinxdx
= − 2 cos x ∣ 0 π = − 2 ⋅ ( − 1 − 1 ) = 2 2 \qquad\qquad =-\sqrt 2\cos x\bigg\vert_0^{\pi}=-\sqrt 2\cdot (-1-1)=2\sqrt 2 =−2cosx 0π=−2⋅(−1−1)=22
只要熟练掌握不定积分的求法，就能熟练地解决这类题目。