Polygon zkEVM中的子约束系统

1. 引言

前序博客有：

• Polygon zkEVM工具——PIL和CIRCOM
• PLONK: permutations over lagrange-bases for oecumenical noninteractive arguments of knowledge 学习笔记
• PLONK + PLOOKUP
• PLOOKUP
• V神博客 Understanding PLONK

Polygon zkEVM中主要设计了3种子约束系统：

• 1）Permutation check子约束系统：PIL中的关键字为is。
  
  

• 2）Plookup 子约束系统：PIL中的关键字为in。
  
  

• 3）Connection check（Copy constraint）子约束系统：PIL中的关键字为connect。
  
  

2. Permutation check VS Connection check VS Plookup

• Plonk的核心技术为：grand product check。
• Plookup的核心技术为：multiset-equality check，在Plookup中引入了查找表。

所谓grand product check，是指：

• public info：commitments to polynomials $f,g$ over a finite field $\mathbb{F}$，及 a subset H = { x 1 , ⋯   , x n } ⊂ F H=\{x_1,\cdots,x_n\}\subset \mathbb{F} H={x1​,⋯,xn​}⊂F
• private info：多项式$f,g$。
• 待证明relation：${\prod }_{i\in [n]}{a}_i={\prod }_{i\in [n]}{b}_i$，其中$a_i=f(x_i),b_i=g(x_i)$。

在PLONK论文中指出，当$H$为a multiplicative subgroup时，可高效实现相应证明。

此文讨论的长为$n$的vector $\vec{a}$，在协议的实际实现中，均为Prover会对多项式$f$进行commit，其中$f(x_i)=a_i$。

PLOOKUP的核心技术为：

• multiset-equality check

借助少量的randomness，可将grand product check 转换为更强大的primitive——the multiset equality check：

• 已知两个vector $\vec{a}=(a_1,\cdots ,a_n),\vec{b}=(b_1,\cdots ,b_n)$，check两者是否具有相同的元素，计算相应的重复值，顺序可以不对应。

如 $(1,1,2,3)$ 与 $(2,1,1,3)$ 是multiset-equal的，但是与$(1,2,3,3)$或$(1,1,2,4)$都不是 multiset-equal的。

电路证明中常用到permutation check，用于证明电路中门之间wires赋值的一致性（establishes the consistency of the assignment of wires to gates）。
Permutation是指：

• public info：permutation $\sigma :[n]\to [n]$
• private info：$\vec{a},\vec{b}$
• 待证明relation：$\vec{b}=\sigma (\vec{a})$，即对于每一个$i$，有$b_i=a_{\sigma (i)}$。

2.1 Plookup子约束系统

根据Plookup论文，相应的Plookup子约束系统证明系统为：

2.2 Permutation check约束子系统

根据Plonk论文可知，Permutation check约束子系统证明系统为：

2.3 Connection check（Copy constraint）约束子系统

Permutation check约束子系统 为 Connection check（Copy constraint）约束子系统的特例情况，Connection check（Copy constraint）约束子系统 更具有通用性。

参考资料

[1] How PLONK Works: Part 1
[2] How PLONK Works: Part 2

附录：Polygon Hermez 2.0 zkEVM系列博客

• ZK-Rollups工作原理
• Polygon zkEVM——Hermez 2.0简介
• Polygon zkEVM网络节点
• Polygon zkEVM 基本概念
• Polygon zkEVM Prover
• Polygon zkEVM工具——PIL和CIRCOM
• Polygon zkEVM节点代码解析
• Polygon zkEVM的pil-stark Fibonacci状态机初体验
• Polygon zkEVM的pil-stark Fibonacci状态机代码解析
• Polygon zkEVM PIL编译器——pilcom 代码解析
• Polygon zkEVM Arithmetic状态机
• Polygon zkEVM中的常量多项式
• Polygon zkEVM Binary状态机
• Polygon zkEVM Memory状态机
• Polygon zkEVM Memory Align状态机
• Polygon zkEVM zkASM编译器——zkasmcom
• Polygon zkEVM哈希状态机——Keccak-256和Poseidon
• Polygon zkEVM zkASM语法
• Polygon zkEVM可验证计算简单状态机示例
• Polygon zkEVM zkASM 与 以太坊虚拟机opcode 对应集合
• Polygon zkEVM zkROM代码解析（1）
• Polygon zkEVM zkASM中的函数集合
• Polygon zkEVM zkROM代码解析（2）
• Polygon zkEVM zkROM代码解析（3）
• Polygon zkEVM公式梳理
• Polygon zkEVM中的Merkle tree
• Polygon zkEVM中Goldilocks域元素circom约束
• Polygon zkEVM Merkle tree的circom约束
• Polygon zkEVM FFT和多项式evaluate计算的circom约束
• Polygon zkEVM R1CS与Plonk电路转换