分段函数线性化

1. 对二段函数线性化，例如： $f(x)=:$
   $$\begin{gathered} f_1(x),0<x\le a \\ {f}_2(x),a<x \end{gathered}$$

线性化：
f ( x ) = f 1 ( x ) ( 1 − y ) + f 2 ( x ) y s . t . y ∈ { 0 , 1 } a y < x ≤ M y + a f(x) = f_1(x)(1-y) + f_2(x)y\\s.t. \quad y\in \{0,1\}\\ ayf(x)=f1​(x)(1−y)+f2​(x)ys.t.y∈{0,1}ay<x≤My+a

分析：

• 若 $y=0$， 约束 $0<x\le a$, 且此时$f(x)=f_1(x)$， 等价于第一段函数。
• 若 $y=1$, 约束 $a<x\le M+a$， 由于$M$是任取的一个极大已知整数，因此该约束等价于$a<x$， 此时$f(x)=f_2(x)$，等价于第二段函数。

2. 对N段函数线性化： 例如： $f(x)=:$

$$\begin{gathered} f_1(x),0<x\le a \\ {f}_2(x),a<x\le b \\ {f}_3(x),b<x\le c \end{gathered}$$

线性化：
f ( x ) = f 1 ( x ) y 1 + f 2 ( x ) y 2 + f 3 ( x ) y 3 s . t . 0 < x ≤ M ( 1 − y 1 ) + a a y 2 < x ≤ M ( 1 − y 2 ) + b b y 3 < x ≤ M ( 1 − y 3 ) + c y 1 , y 2 , y 3 ∈ { 0 , 1 } y 1 + y 2 + y 3 = 1 f(x) = f_1(x)y_1 +f_2(x)y_2 +f_3(x)y_3\\s.t. \quad 0f(x)=f1​(x)y1​+f2​(x)y2​+f3​(x)y3​s.t.0<x≤M(1−y1​)+aay2​<x≤M(1−y2​)+bby3​<x≤M(1−y3​)+cy1​,y2​,y3​∈{0,1}y1​+y2​+y3​=1

分析：

• 若$y_1=1$， 此时$y_2,y_3=0$， $f(x)=f_1(x)$， 约束条件为： $0<x\le a$， 等价于第一段
• 若$y_2=1$, 此时$y_1,y_3=0$， $f(x)=f_2(x)$， 约束条件为： $a<x\le b$， 等价于第二段
• 若$y_3=1$， 此时$y_1,y_2=0$, $f(x)=f_3(x)$， 约束条件为： $b<x\le c$， 等价于第三段。