作为常用的配准方法，ICP和NDT两种匹配被广泛应用于激光雷达的点云配准方法中。我们知道IPC的匹配主要是描述了点到点的匹配方法，而无法胜任点到面以及面到面的匹配，而本博客主要就是将向读者分析《Generalized-ICP》这篇论文，GICP可以通过点到点的距离作为损失函数求解point-to-point的损失函数，点到局部目标点局部拟合的平面距离作为point-to-plane的损失函数，而文中主要提到的plane-to-plane损失函数则是假设点云具有平面特征，这意味着在3D空间处理采样2D流形。
GICP引入了概率信息（使用协方差阵），提出了ICP的统一模型。本文方法的核心思想是如何从概率的角度去看待和推导出ICP算法的目标函数。这里我们直接看原文就好，原文提到：
假设有两个匹配好的点集，
A
=
{
a
i
}
i
=
1
,
2...
N
,
B
=
{
b
i
}
i
=
1
,
2...
N
A = \{a_i\}_{i = 1 , 2... N} , B = \{ b_i \}_{i = 1 , 2... N}
A={ai}i=1,2...N,B={bi}i=1,2...N , 且
a
i
a_i
ai和
b
i
b_i
bi 是对应点（A为source，B为target）
再假设两个点云中的每个点，都是服从高斯分布的，其原因是由于测量等环节的误差，每个点的位置的测量值实际上是和真值
a
i
^
,
b
i
^
\hat{a_i},\hat{b_i}
ai^,bi^存在偏差
a
i
∼
N
(
a
i
^
,
C
i
A
)
b
i
∼
N
(
b
i
^
,
C
i
B
)
a_i\sim \mathcal{N}(\hat{a_i},C_i^{A})\\ b_i\sim \mathcal{N}(\hat{b_i},C_i^{B})
ai∼N(ai^,CiA)bi∼N(bi^,CiB)
对于 a i ^ , b i ^ \hat{a_i},\hat{b_i} ai^,bi^有：
b ^ i = T ∗ a ^ \hat{b}_i=T^*\hat{a} b^i=T∗a^
T ∗ T^* T∗（注意有上标 ∗ ^* ∗）是理想中的correct rigid transform。代表了两个点云真实的转换关系，我们需要一个目标函数来寻找出最佳的 T ∗ T^* T∗，以下是目标函数的推导过程：
首先定义残差 d i ( T ) = b i − T a i d_i^{(T)}=b_i-Ta_i di(T)=bi−Tai， d i ( T ) d_i^{(T)} di(T)代表了对原始点云使用 T T T做转换后，第 i i i个点对的有向距离。
它是由分布采样而来
d
i
(
T
)
∼
N
(
b
i
^
,
C
i
B
)
−
T
N
(
a
i
^
,
C
i
A
)
=
N
(
b
i
^
−
T
a
i
^
,
C
i
B
+
(
T
)
C
i
A
(
T
)
T
)
d(T)i∼N(^bi,CBi)−TN(^ai,CAi)=N(^bi−T^ai,CBi+(T)CAi(T)T)
其中的等号变换可以参考这篇文章。
因为 a i , b i a_i,b_i ai,bi都被我们假设为独立的、服从高斯分布的随机变量，所以将上式中的 T T T替换为 T ∗ T^* T∗，则可以变为：
d
i
T
∗
∼
N
(
b
i
^
,
C
i
B
)
−
T
∗
N
(
a
i
^
,
C
i
A
)
=
N
(
b
i
^
−
T
∗
a
i
^
,
C
i
B
+
(
T
∗
)
C
i
A
(
T
∗
)
T
)
=
N
(
0
,
C
i
B
+
(
T
∗
)
C
i
A
(
T
∗
)
T
)
dT∗i∼N(^bi,CBi)−T∗N(^ai,CAi)=N(^bi−T∗^ai,CBi+(T∗)CAi(T∗)T)=N(0,CBi+(T∗)CAi(T∗)T)
接下来就是这篇文章的重点，
T
T
T可以被看作
d
i
T
d_i^T
diT的概率分布中待估计的分布参数，借助最大似然估计(MLE)的思想，我们寻找一个是的当前样本
d
i
d_i
di出现概率最大的
T
T
T：
T
=
arg
max
T
∏
i
p
(
d
i
T
)
=
arg
max
T
∑
i
log
(
p
(
d
i
(
T
)
)
)
T=argmax\boldT∏ip(dTi)=argmax\boldT∑ilog(p(d(\boldT)i))
这一部分是执行了取log的操作，然后进一步化简
= arg max l i m i t s T ∑ i log ( 1 ( 2 π ) k ∣ C i B + T C i A T T ∣ ) − 1 2 ( d i ( T ) − ( b i ^ − T a i ^ ) ) T ( C i B + T C i A T T ) − 1 ( d i ( T ) − ( b i ^ − T a i ^ ) ) = \mathop{\arg\max}limits_\bold{T} \sum\limits_i\log (\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T|}}) \\ -\frac{1}{2}(d_i^{(\bold{T})}-(\hat{b_i} - \bold{T}\hat{a_i}))^T(C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}(d_i^{(\bold{T})}-(\hat{b_i} - \bold{T}\hat{a_i})) =argmaxlimitsTi∑log((2π)k∣CiB+TCiATT∣1)−21(di(T)−(bi^−Tai^))T(CiB+TCiATT)−1(di(T)−(bi^−Tai^))
上面的式子是参考了Multivariate normal distribution的取对数以及代入的方法。
对于多元常态分布 X ∼ N ( μ , Σ ) \textbf{X} \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma) X∼N(μ,Σ)，其概率密度函数可以表示为
f x ( x 1 , . . . , x k ) = 1 ( 2 π ) k ∣ Σ ∣ e − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) , ∣ Σ ∣ ≜ det Σ f_x(x_1, ..., x_k) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|\Sigma|}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}, |\Sigma| \triangleq \textbf{det} \Sigma fx(x1,...,xk)=(2π)k∣Σ∣1e−21(x−μ)TΣ−1(x−μ),∣Σ∣≜detΣ
对上面的式子取log可以得到：
KaTeX parse error: \cr valid only within a tabular/array environment
代入 d i ( T ) ∼ N ( b i ^ − T a i ^ , C i B + T C i A T T ) d_i^{(\bold{T})} \sim \mathcal{N}(\hat{b_i} - \bold{T}\hat{a_i}, C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T) di(T)∼N(bi^−Tai^,CiB+TCiATT)，得到：
log ( p ( d i ( T ) ) ) = log ( 1 ( 2 π ) k ∣ C i B + T C i A T T ∣ ) − 1 2 ( d i ( T ) − ( b i ^ − T a i ^ ) ) T ( C _ i B + T C i A T T ) − 1 ( d i ( T ) − ( b i ^ − T a _ i ^ ) ) = log ( 1 ( 2 π ) k ∣ C i B + T C i A T T ∣ ) − 1 2 d i ( T ) T ( C i B + T C i A T T ) − 1 d i ( T ) log(p(d(\boldT)i))=log(1√(2π)k|CBi+\boldTCAi\boldTT|)−12(d(\boldT)i−(^bi−\boldT^ai))T(C_iB+\boldTCAi\boldTT)−1(d(\boldT)i−(^bi−\boldT^a_i))=log(1√(2π)k|CBi+\boldTCAi\boldTT|)−12d(\boldT)iT(CBi+\boldTCAi\boldTT)−1d(\boldT)ilog(p(di(T)))=log((2π)k∣CiB+TCiATT∣1)−21(di(T)−(bi^−Tai^))T(C_iB+TCiATT)−1(di(T)−(bi^−Ta_i^))=log((2π)k∣CiB+TCiATT∣1)−21di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)
这样也就得到了我们上面的输出结果。这里的结果如果发现正态分布的协方差矩阵的行列式为常数时，则只需要优化最后一项就可以了。最后一项的二次型又被称作马哈拉诺比斯距离（马氏距离），极大似然估计等价于最小化样本点与均值之间的马氏距离。更详细的内容可以参考 高翔《视觉SLAM14讲》6.1 状态估计问题 。
这一部分则是对上一步的进一步化简，在 T = T ∗ \bold{T}=\bold{T}^* T=T∗的情況下 b i ^ − ( T ∗ ) a i ^ = 0 \hat{b_i} - (\bold{T}^*)\hat{a_i} =0 bi^−(T∗)ai^=0
= arg max T ∑ i log ( 1 ( 2 π ) k ∣ C i B + T C i A T T ∣ ) − 1 2 d i ( T ) T ( C i B + T C i A T T ) − 1 d i ( T ) = \mathop{\arg\max}\limits_\bold{T} \sum\limits_i\log (\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T|}}) \\ -\frac{1}{2}{d_i^{(\bold{T})}}^T(C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}d_i^{(\bold{T})} =Targmaxi∑log((2π)k∣CiB+TCiATT∣1)−21di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)
然后又因为三维刚体变换矩阵中的旋转矩阵行列式值为1，平移矩阵行列式值也为1。又因为 T T T是旋转平移矩阵，可以拆成旋转矩阵和平移矩阵的乘积。且 det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) \textbf{det}(AB) = \textbf{det}(A)\textbf{det}(B) det(AB)=det(A)det(B)，所以有矩阵的行列式值 det ( T ) = 1 \textbf{det}(\bold{T}) = 1 det(T)=1，因此 det ( T C i A T T ) = det ( C i A ) \textbf{det}(\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)=\textbf{det}(C_i^A) det(TCiATT)=det(CiA)
= arg max T ∑ i − 1 2 d i ( T ) T ( C i B + T C i A T T ) − 1 d i ( T ) =\mathop{\arg\max}\limits_\bold{T}\sum\limits_i-\frac{1}{2}{d_i^{(\bold{T})}}^T(C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}d_i^{(\bold{T})} =Targmaxi∑−21di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)
照视觉十四讲所说，这里对 T T T做优化。其中第一项为常数，则可以忽略，其中 det ( A + B ) \textbf{det}(A+B) det(A+B)可以参考这个推导。
然后舍去负号，则可以将上式化简为论文中的公式2：
T
=
arg
min
T
∑
i
d
i
(
T
)
T
(
C
i
B
+
T
C
i
A
T
T
)
−
1
d
i
(
T
)
T=\mathop{\arg\min}\limits_\bold{T}\sum_id_i^{(\bold{T})^{T}} (C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}d_i^{(\bold{T})}
T=Targmini∑di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)
到此为止我们学习了GICP中最主要的公式推导公式了。
这里我们直接参照keineahnung2345的文章。文中介绍了三种ICP的推导，这一节要借助上文的结论。
传统的点到点ICP可以用GICP的框架表示如下
C
i
B
=
I
,
C
i
A
=
0
C_i^B=I, C_i^A=0
CiB=I,CiA=0
验证：
T
=
arg
min
T
∑
d
i
(
T
)
T
(
C
i
B
+
T
C
i
A
T
T
)
−
1
d
i
(
T
)
=
arg
min
T
∑
d
i
(
T
)
T
d
i
(
T
)
=
arg
min
T
∑
∥
d
i
(
T
)
∥
2
\boldT=argmin\boldT∑d(\boldT)iT(CBi+\boldTCAi\boldTT)−1d(\boldT)i=argmin\boldT∑d(\boldT)iTd(\boldT)i=argmin\boldT∑‖d(\boldT)i‖2
可以看出其目标为最小化点对间距离的平方和，也就是点到点ICP更新公式
首先定义一个为正交的投影矩阵
P
i
\bold{P_i}
Pi，有以下性质
P
i
=
P
i
2
=
P
i
\bold{P_i} = \bold{P_i}^2 = \bold{P_i}
Pi=Pi2=Pi。
其中
P
i
\bold{P_i}
Pi会将向量投影到目标点云
a
a
a中的第
i
i
i点
b
i
b_i
bi法向量的局部平面上，因此
P
i
⋅
d
i
(
T
)
\bold{P_i}\cdot d_i^{(\bold{T})}
Pi⋅di(T)也就是转换后的
a
i
a_i
ai到
b
i
b_i
bi所在平面的距离。
验证：
T
=
arg
min
T
{
∑
i
∥
P
i
⋅
d
i
(
T
)
∥
2
}
=
arg
min
T
{
∑
i
(
P
i
⋅
d
i
(
T
)
)
T
(
P
i
⋅
d
i
(
T
)
)
}
=
arg
min
T
{
∑
i
d
i
(
T
)
T
⋅
P
i
2
⋅
d
i
(
T
)
}
=
arg
min
T
{
∑
i
d
i
(
T
)
T
⋅
P
i
⋅
d
i
(
T
)
}
\boldT=argmin\boldT{∑i‖\boldPi⋅d(\boldT)i‖2}=argmin\boldT{∑i(\boldPi⋅d(\boldT)i)T(\boldPi⋅d(\boldT)i)}=argmin\boldT{∑id(\boldT)iT⋅\boldPi2⋅d(\boldT)i}=argmin\boldT{∑id(\boldT)iT⋅\boldPi⋅d(\boldT)i}
和GICP比较我们就可以发现关系为
C i B = P i − 1 , C i A = 0 C_i^B=\bold{P_i}^{-1}, C_i^A=0 CiB=Pi−1,CiA=0
这里是GICP专门提出的一种方法，即相对于点到点和点到面加入概率模型（协方差阵）
平面到平面算法的做法是，假设点云具有平面特征，这意味着在3D空间处理采样2D流形。 由于现实世界的曲面至少是分段可微的，我们可以假设我们的数据集是局部平面的。此外，由于我们从两个不同的角度对流形进行采样，因此通常不会对完全相同的点进行采样（即，对应关系永远不会是精确的）。 从而导致采样点在局部拟合的平面方向上的不确定性较大，但是在法向量方向上不确定性较小。
为此，每个测量点仅提供沿其曲面法线的约束。为了对这种结构进行建模，我们考虑每个采样点沿其局部平面以高协方差分布，而在曲面法线方向（垂直于平面方向）以极低协方差分布（即点云法线方向不在局部平面上）。假设局部拟合平面上某一点的法向量 e 1 e_1 e1是沿X轴的，则该点协方差矩阵变为：
(
ϵ
0
0
0
1
0
0
0
1
)
\left(ϵ00010001
ϵ \epsilon ϵ为沿着法线方向极小的常数。
因为实际上法向量并不一定是沿
x
x
x轴方向，所以需要进行坐标转换。假设
b
i
,
a
i
b_i,a_i
bi,ai对应的法向量分别为
u
i
,
v
i
u_i,v_i
ui,vi,则它们对应的协方差阵为：
C
i
B
=
R
μ
i
⋅
(
ϵ
0
0
0
1
0
0
0
1
)
⋅
R
μ
i
T
C
i
A
=
R
ν
i
⋅
(
ϵ
0
0
0
1
0
0
0
1
)
⋅
R
ν
i
T
\begin{array}{l} C_{i}^{B}=\mathbf{R}_{\mu_{i}} \cdot\left(\begin{array}{ccc} \epsilon & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}