统计信号处理基础 习题解答6-14

题目：

噪声过程由IID零均值，PDF为 

的随机变量组成，其中0<ε<1 。这样的PDF成为高斯混合PDF，它用来模拟 具有方差为 的高斯噪声以及剩余的服从方差 的高斯噪声。一般 ，且ε≪1 ，所以具有方差为 的背景噪声在噪声中起主要作用。但是也包含高电平事件或者干扰，这是使用方差为 的高斯噪声来模拟的。证明这种PDF的方差为：

如果认为 是数据，且 假定已知，求 的BLUE。提示，利用习题6.12的结果。

解答

1. 证明

已知随机变量 和概率密度函数 ,那么根据方差的定义：

具体可以参考：

概率论与数理统计学习笔记——第三十讲——方差定义和计算公式_预见未来to50的博客-CSDN博客_概率论方差的计算公式根据题目条件：

那么：

其中利用了高斯分布方差的性质：

具体可以参考:

高斯分布的积分期望E(X)方差V(X)的理论推导_chaosir的博客-CSDN博客_混合高斯分布的期望与方差

证明完毕。

2. 求BLUE

由性质， 独立，那么 也相互独立

具体可以参考：

X1,X2,...,Xn相互独立且服从标准正态分布，为何他们的平方也相互独立？ - 知乎

特殊的，如果x 服从高斯分布:

那么 服从卡方分布,根据书上公式（3.19）的推导可以得到：

因此，如果我们考虑：

那么由上述分析， 也是IID，因此：

其中：

是单位矩阵。

由 ，得到：

因此：

根据BLUE，可以得到 的BLUE估计为：

这个和MVU估计一致。

根据题目条件，已知 的BLUE，且 已知，他们直接存在：

求 的BLUE，利用习题6.12的结果，可以得到：

因此：