【C++天梯计划】1.11 图论(graph theory)

🎆🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎆
今天我要开启一个新计划----【C++天梯计划】
目的是通过天梯计划，通过题目和知识点串联的方式，完成C++复习与巩固。

什么是图论？

图论是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

拓扑学

图论是离散数学中的重要内容，并且它与拓扑学密切相关。
用一笔画解决了柯尼斯堡问题 ，在开创了图论的同时，也开创了拓扑学。
而 1852 年提出的 四色猜想 ，实际上也是图论与拓扑学的综合。
拓扑学(topology)是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。
拓扑学可以像图论一样简明易懂，但这两者都可以很抽象。

例题1：欧拉路

题目描述

有一个无向图，图中要么有两个奇点要么0奇点，如果是欧拉回路请从第一个点（1号点）为起点开始遍历，如果有两个奇点，则以字典序大的为起点开始遍历，在遍历的过程中，字典序小结点的先遍历。
请输出满足条件的欧拉路或者欧拉回路。

输入

第一行两个整数，n和e，表示有n个结点（结点编号为1~n），e条边。（5<=n<=20,5<=e<=15）
接下来e行，每行有2个数，代表这两个结点之间有一条边。（本题数据保证两个结点之间最多只有1条边，确保本题存在欧拉路或者欧拉回路）

输出

只有一行，为满足条件的欧拉路或欧拉回路。

样例

输入
5 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 1
输出
1 2 3 4 5 1

代码：

#include 
using namespace std;
//欧拉路问题，注意本题如果有两个奇点，要从值较大的奇点出发，因此要就每个结点的度。
int a[30][30];
int n,e;
int d[30];
int r[50];
int k;
 
void dfs(int s){
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        if(a[s][i] == 1){
            a[s][i] = 0;
            a[i][s] = 0;
            dfs(i);
        } 
    } 
     
    k++;
    r[k] = s;
}
 
 
int main()
{
    cin>>n>>e;
    int x,y;
    for(int i = 1;i <= e;i++){
        cin>>x>>y;
        a[x][y] = 1;
        a[y][x] = 1;
        d[x]++;
        d[y]++;
    } 
     
    int s = 1;
    for(int i = n;i >= 1;i--){
        if(d[i] % 2 == 1){
            s = i;
            break;
        }
    }
     
    dfs(s);
     
    //输出
    for(int i = k;i >= 1;i--){
        cout<<r[i]<<" ";
    } 
     
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52

例题2：香甜的黄油(Sweet Butter)

题目描述

Farmer John 发现了做出全威斯康辛州最甜的黄油的方法：糖。
把糖放在一片牧场上，他知道 NN 只奶牛会过来舔它，这样就能做出能卖好价钱的超甜黄油。当然，他将付出额外的费用在奶牛上。
Farmer John 很狡猾。像以前的 Pavlov，他知道他可以训练这些奶牛，让它们在听到铃声时去一个特定的牧场。他打算将糖放在那里然后下午发出铃声，以至他可以在晚上挤奶。
Farmer John 知道每只奶牛都在各自喜欢的牧场（一个牧场不一定只有一头牛）。给出各头牛在的牧场和牧场间的路线，找出使所有牛到达的路程和最短的牧场（他将把糖放在那）。

输入

第一行包含三个整数 N,P,CN,P,C，分别表示奶牛数、牧场数和牧场间道路数。
第二行到第 N+1N+1 行，每行一个整数，其中第 ii 行的整数表示第 i−1i−1 头奶牛所在的牧场号。
第 N+2N+2 行到第 N+C+1N+C+1 行，每行包含三个整数 A,B,DA,B,D，表示牧场号为 AA 和 BB 的两个牧场之间有一条长度为 DD 的双向道路相连。
1≤N≤5001≤N≤500,2≤P≤8002≤P≤800,1≤A,B≤P1≤A,B≤P,1≤C≤14501≤C≤1450,1≤D≤2551≤D≤255

输出

输出一行一个整数，表示奶牛必须行走的最小的距离和。

样例

输入
3 4 5
2
3
4
1 2 1
1 3 5
2 3 7
2 4 3
3 4 5
输出
8

代码：

#include
using namespace std;
#define N 805
#define INF 0x3f3f3f3f
struct Pair
{
    int v, d;
    Pair(){}
    Pair(int a, int b):v(a),d(b){}
    bool operator < (const Pair &b) const
    {
        return b.d < d;
    }
};
struct Edge
{
    int t, w;
    Edge(){}
    Edge(int a, int b):t(a),w(b){}
};
int n, p, c;
bool vis[N];
int dis[N][N];//dis[i][j]:i到j的最短路径长度 
int place[N];//place[i]:牛i所在的顶点 
vector<Edge> edge[N];
void initGraph()
{
    int f, t, w;
    cin >> n >> p >> c;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> place[i];
    for(int i = 1; i <= c; ++i)
    {
        cin >> f >> t >> w;
        edge[f].push_back(Edge(t, w));
        edge[t].push_back(Edge(f, w));
    }
}
void dijkstra(int v0)
{
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    priority_queue<Pair> pq;
    dis[v0][v0] = 0;
    pq.push(Pair(v0, 0));
    while(pq.empty() == false)
    {
        int u = pq.top().v;
        pq.pop();
        if(vis[u])
            continue;
        vis[u] = true;
        for(int i = 0; i < edge[u].size(); ++i)
        {
            int v = edge[u][i].t, w = edge[u][i].w;
            if(vis[v] == false && dis[v0][v] > dis[v0][u] + w)
            {
                dis[v0][v] = dis[v0][u] + w;
                pq.push(Pair(v, dis[v0][v]));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int v0, sum, ans = INF;
    initGraph();
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        v0 = place[i];//起点 
        if(dis[v0][v0] == INF)//如果该顶点的单源最短路径问题没有求过了 
            dijkstra(v0);
    }
    for(int i = 1; i <= p; ++i)
    {//在顶点i放糖 
        sum = 0;
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            sum += dis[place[j]][i];
        ans = min(ans, sum);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83