1.3 特殊的矩阵乘法

初等行变换与列变换

  初等行变换与初等列变换是线性代数比较基础的内容。学会了这个才能继续学习高斯消元解方程。初等行变换分为三种：

1. 交换两行；
2. 给某一行乘以一个倍数；
3. 把某行的倍数加到另一行。

  同理，初等列变换，也是三种：

1. 交换两列；
2. 给某一列乘以一个倍数；
3. 把某列的倍数加到另一列。

  但是这与矩阵乘法有什么关系呢？因为上面这六种变换，都与矩阵乘法的效果一样，初等行变换相当于左边乘以了一个矩阵，列变换相当于右边乘以了一个矩阵。而这个用来乘的矩阵就叫做初等矩阵elementary matrix。

行交换乘法

  先看看以下两个矩阵的乘法：
( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 ) = ( 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 ) (1000001001000001)

(1111222233334444)\\ =(1111333322224444)\\ ​1000​0010​0100​0001​ ​ ​1234​1234​1234​1234​ ​= ​1324​1324​1324​1324​ ​
  可以看到，乘法的左右是将矩阵的两行进行了交换。将一个单位矩阵进行行交换之后，再放在左边乘以某个矩阵，会使得这个矩阵进行行交换。这种把单位阵进行行交换之后的矩阵叫做置换矩阵。

列交换乘法

  再看下一个例子：
( 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ) ( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ) = ( 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 ) (1234123412341234)

(1000001001000001)\\ =(1324132413241324)\\ ​1111​2222​3333​4444​ ​ ​1000​0010​0100​0001​ ​= ​1111​3333​2222​4444​ ​
  把置换矩阵放在右边就是列交换了，上面的例子，第二列和第三列就完成了交换。
  在初等矩阵中，效果是行交换和列交换的矩阵也叫做置换矩阵permutation matrix。

行倍数乘法

  再看这个例子：
( 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( 1 2 3 4 − 1 − 2 − 3 − 4 5 6 7 8 − 5 − 6 − 7 − 8 ) = ( 1 2 3 4 − 3 − 6 − 9 − 12 5 6 7 8 − 5 − 6 − 7 − 8 ) (1000030000100001)

(1234−1−2−3−45678−5−6−7−8)\\ =(1234−3−6−9−125678−5−6−7−8)\\ ​1000​0300​0010​0001​ ​ ​1−15−5​2−26−6​3−37−7​4−48−8​ ​= ​1−35−5​2−66−6​3−97−7​4−128−8​ ​
  可以看到不过是把第二行放大了三倍。这种很简单，就不必说了。

列倍数乘法

  再看看下一个例子：
( 1 2 3 4 − 1 − 2 − 3 − 4 5 6 7 8 − 5 − 6 − 7 − 8 ) ( 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) = ( 1 4 3 4 − 1 − 4 − 3 − 4 5 12 7 8 − 5 − 12 − 7 − 8 ) (1234−1−2−3−45678−5−6−7−8)

(1000020000100001)\\= (1434−1−4−3−451278−5−12−7−8)\\ ​1−15−5​2−26−6​3−37−7​4−48−8​ ​ ​1000​0200​0010​0001​ ​= ​1−15−5​4−412−12​3−37−7​4−48−8​ ​
  我们可以找到规律了，放在右边做乘法是做列变换。这次是把第二列变成了两倍。

行倍加乘法

  大胆猜测，把单位阵做行倍加，再左乘一个矩阵，是不是也就对这个矩阵实现了行倍加呢？答案是对的：
( 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( 9 8 1 5 9 2 7 3 3 6 7 2 5 1 10 2 ) = ( 9 8 1 5 36 26 10 18 3 6 7 2 5 1 10 2 ) (1000310000100001)

(98159273367251102)\\= (981536261018367251102)\\ ​1300​0100​0010​0001​ ​ ​9935​8261​17710​5322​ ​= ​93635​82661​110710​51822​ ​
  从例子可以看出确实是第一行乘以三倍加到了第二行了。

列倍加乘法

  列倍加不过是左边换到右边而已，我是不厌其烦地举例子啊：
( 9 7 5 9 4 3 1 6 1 10 5 4 3 10 9 4 ) ( 1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) = ( 9 7 23 9 4 3 9 6 1 10 7 4 3 10 15 4 ) (975943161105431094)

(1020010000100001)\\= (97239439611074310154)\\ ​9413​731010​5159​9644​ ​ ​1000​0100​2010​0001​ ​= ​9413​731010​239715​9644​ ​
  实验了一下，我们的猜测是对的啊，就是把第一列乘以两倍加到了第三列上。

线性变换思想

  其实这些用线性变换的思想很容易理解。一个线性变换可以用矩阵表示，这个线性变换把一组自然基变成什么样子，就会把自然基下的矩阵变成什么样子。这么说起来，比较难理解，一组自然基，其实就是单位阵，也就是说一个矩阵是通过什么步骤从单位阵变过来的，它去乘别的矩阵，也会按照同样的步骤去变换别的矩阵，这就是线性变换。
  初等矩阵与初等行变换、初等列变换是高斯消元的基础，我接下来的文章就是介绍高斯消元。