人工智能数学基础--概率与统计12：连续随机变量的概率密度函数以及正态分布

一、连续随机变量的概率密度函数的定义

1. 在《人工智能数学基础–概率与统计10：离散随机变量的概率函数及常见的二项分布、泊松分布》介绍了概率分布函数的概念：设X为随机变量（包括离散和非离散），则函数：P(X≤x） = F(x) (-∞ < x <∞) 称为X的分布函数；
2. 设连续随机变量X有概率分布函数F（x），则F（x）的导数f（x）=F’（x）称为X的概率密度函数，简称为密度函数。

二、连续随机变量的概率密度函数的性质

连续随机变量X的密度函数f（x）具有以下三条基本性质：

1. f（x）≥0；
2. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)d(x)=1$
3. 对任何常数a小于b，有：$$P(a\le X\le b）=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)d(x)$$

三、 正态分布

3.1、定义

如果一个随机变量具有如下概率密度函数：
$$f(x)=(\sqrt{2\pi }\sigma {)}^{-1}{e}^{-\frac{(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}}(-\infty <x<\infty ）$$
则称X为正态随机变量，并且记为：X ~ N(u,σ²），其中u和σ²都是常数，u为任何实数，0<σ<∞（原书写的是σ²，老猿认为应该是σ大于0），u和σ²为正态分布的“参数”。

3.2、正态分布是一个概率密度函数的证明

要证明正态分布f(x)是一个概率密度函数，就是要证明：

1. f(x)≥0，由于σ大于0，因此f（x）显然大于等于0；
2. ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1，即{\int }_{-\infty }^{\infty }(\sqrt{2\pi }\sigma {)}^{-1}{e}^{-\frac{(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=1$
   进行变量代换，设t=（x-u）/σ，则需要证明： ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi }$

\\
老猿注：首先说明为什么是要证明 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi }$
$$\begin{gathered} \because \int (\sqrt{2\pi }\sigma {)}^{-1}{e}^{-\frac{(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}}dx \\ \therefore (\sqrt{2\pi }{)}^{-1}\int e^{-\frac{(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}}d\frac{x}{\sigma } \\ \therefore (\sqrt{2\pi }{)}^{-1}\int e^{-\frac{t^2}{2}}d(t-\frac{u}{\sigma }) \\ \therefore 即要证明：I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi } \end{gathered}$$
接下来进行该式证明：
由于积分变量不影响积分结果，可以得到：$$I²={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{u^2}{2}}du={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu$$
转化成极坐标，设t=rcosθ，u=rsinθ，则：
$$I²={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\infty }{e}^{-r²/2}rdr=2\pi \times {\int }_0^{\infty }{e}^{-r²/2}d\frac{r²}{2}$$
令y = r²/2，则定积分范围还是[0，∞)，则：
$$I²=2\pi \times {\int }_0^{\infty }{e}^{-y}dy=-2\pi \times {\int }_0^{\infty }{e}^{-y}d(-y)=-2\pi \times e^{-y}{|}_0^{\infty }=2\pi$$
所以即可得出：$I=\sqrt{2\pi }$，证毕。

3.3、正态分布的图形及适用举例

正态分布的函数图形如下所示：

从上述图像可以看出，该函数关于u点对称，中间高两头低，这种状态是一般事物所处的状态，例如人的身高、体重、收入、大批量制造的同一产品的某个指标等，都在不同程度上符合正态分布，这不但说明了正态（Normal）分布的由来，也说明了这种分布的重要性。

四、小结

本文介绍了连续随机变量概率分布及概率密度函数的概念，并介绍了连续随机变量一个重要的概率密度函数：正态分布的概率密度函数的定义以及推导、使用场景。

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