微分的定义和介绍习题

前置知识：微分的定义和介绍

例1

函数$y=\sqrt{x+1}$在点$x=0$处，当自变量改变量$\Delta x=0.04$时，$dy=\underline{}$.

解：
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}{|}_{x=0}=0.5$

$dy=f^{\prime }(x)\Delta x=0.5\times 0.04=0.02$

例2

设函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，且$f^{\prime }(x_0)\ne 0$，则$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y-dy}{\Delta x}=\underline{}$.

解：
$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y-dy}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y-f^{\prime }(x)\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}-f^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)=0$

\qquad 所以$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y-dy}{\Delta x}=0$