878. 第 N 个神奇数字（二分查找+数学）

878. 第 N 个神奇数字

一个正整数如果能被 a 或 b 整除，那么它是神奇的。

给定三个整数 n , a , b ，返回第 n 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案 对 109 + 7 取模 后的值。

示例 1：

输入：n = 1, a = 2, b = 3
输出：2

示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3
输出：6

提示：

• 1 <= n <= 10^9
• 2 <= a, b <= 4 * 104

思路：二分查找+数学

一看到这道题会想到264. 丑数 II - 力扣（LeetCode）的做法，用两个链表分别存a*1，a*2，a*3.....和b*1，b*2，b*3......，然后合并两个有序链表，顺带去重，最终链表的第n个元素就是结果，但是时间复杂度为O(N)，n最大可取至10^9，所以肯定会超时，假定使用二分查找试试，时间复杂度为O(logN)。 

为什么使用左侧边界的二分查找？
    答：若n = 4, a = 2, b = 3，结果是6，6/2+6/3-6/6=4；
    如果是7呢？7/2+7/3-7/6=4，也是4；
    所以，选择最小的那个数，就是选择可以整除a或b的数，
    这样的数除以a，b没有余数，理所当然是满足条件的数中最小的那个。

class Solution {
public:
    int gcd(int a,int b)//辗转相除法
    {
        int c=0;
        while(a%b!=0)//若a%b==0，则b就是最大公约数
        {
            c=a%b;
            a=b;//让b作a
            b=c;//让c作b
        }
        return b;
    }
    int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
        int mod=1e9+7;
        int g=gcd(a,b);//a,b的最大公约数
        int lcm=(a*b)/g;//a,b的最小公倍数=(a*b)/最大公约数
        long right=min(a,b)*(long)n;//right是二分查找的上界，在[1,right]中至少有n个神奇数字
        long left=1;
        while(left<=right)
        {
            long mid=left+(right-left)/2;
            //[1,mid]中能被a或b整除的数字的个数=能被a整除的个数+能被b整除的个数-能被能被a和b同时整除的个数
            int count=mid/a+mid/b-mid/lcm;
            if(count>=n)//左侧边界的二分查找，找到符合条件([1,mid]有n个神奇数字)的数中最小的那个
            {
                right=mid-1;
            }
            else
            {
                left=mid+1;
            }
        }
        return (right+1)%mod;
    }
};

1819. 序列中不同最大公约数的数目

给你一个由正整数组成的数组 nums 。

数字序列的 最大公约数 定义为序列中所有整数的共有约数中的最大整数。

• 例如，序列 [4,6,16] 的最大公约数是 2 。

数组的一个 子序列 本质是一个序列，可以通过删除数组中的某些元素（或者不删除）得到。

• 例如，[2,5,10] 是 [1,2,1,2,4,1,5,10] 的一个子序列。

计算并返回 nums 的所有 非空 子序列中 不同 最大公约数的 数目 。

示例 1：

输入：nums = [6,10,3]
输出：5
解释：上图显示了所有的非空子序列与各自的最大公约数。
不同的最大公约数为 6 、10 、3 、2 和 1 。

示例 2：

输入：nums = [5,15,40,5,6]
输出：7

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 2 * 105

 思路：枚举+数学

1、如何求三个数的最大公约数？答：先用辗转相除法求出两个数的最大公约数，然后再求第三个数和这个数的最大公约数，四个数、五个数同理。

2、枚举所有子序列的复杂度为O(2^n)，一定会超时，所以反过来枚举所有可能的最大公约数，它们的范围是[1, max(nums)]。

3、如何判断枚举出的数k 存在于nums子序列的最大公约数中呢？答：一个子序列如[6,12,15]，它的最大公约数是3，说明子序列中的所有数都是最大公约数3的倍数。所以，我们枚举数k 的所有倍数k,2k,3k......，判断它的倍数是否存在于nums数组中，如果存在，就把它的倍数加到子序列中，更新最大公倍数，当子序列的最大公倍数等于k 时，表明k 存在于nums子序列的最大公倍数中。

举个例子：nums=[6,12,15]，所以枚举结果的范围是[1, 15]。

枚举k=1时，6k=6，子序列[6]的最大公倍数是6；12k=12，子序列[6,12]的最大公倍数是6；15k=15，子序列[6,12,15]的最大公倍数是3；3!= 1，所以1不是结果之一。

枚举k=2时，3k=6，子序列[6]的最大公倍数是6；6k=12，子序列[6,12]的最大公倍数是6；6!= 2，所以2不是结果之一。

枚举k=3时，2k=6，子序列[6]的最大公倍数是6；4k=12，子序列[6,12]的最大公倍数是6；5k=15，子序列[6,12,15]的最大公倍数是3；3== 3，所以3是结果之一。

以此类推，k=6、12、15也是结果之一，输出4。

class Solution {
public:
    int gcd(int i,int j) {
        while(i%j!=0) {
            int k=i%j;
            i=j;
            j=k;
        }
        return j;
    }
    int countDifferentSubsequenceGCDs(vector<int>& nums) {
        int maxVal=*max_element(nums.begin(),nums.end());//枚举的右边界
        vector<bool> occured(maxVal+1,false);//标志nums中的元素是否存在，功能类似unordered_set
        for(int num:nums) {
            occured[num]=true;
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=maxVal;i++)//枚举可能出现的最大公约数 
        {
            int subGcd=0;
            for(int j=i;j<=maxVal;j+=i)//枚举最大公约数j的所有倍数 
            {
                if(occured[j])//判断这个j的倍数是否存在于nums中
                {    
                    if(subGcd==0)
                        subGcd=j;
                    else
                        subGcd=gcd(subGcd,j);//更新子序列的最大公约数
                }
                if(subGcd==i)//存在子序列的最大公约数等于i，结果加一，后面不必再看 
                {
                    ans++;
                    break;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};