AtCoder Regular Contest 136 C.Circular Addition(差分/环上区间减1使所有数为0的最小操作数)

题目

长为n(n<=2e5)的序列a，第i(0

实际是一个环，ai和ai+1相邻，a0和an-1相邻，

每次你可以选择环上连续的一段当前均大于0的数，对其均减1，

问所有数都变为0的最小操作次数

题目实际是以区间加1，从0变成ai的形式给出的，但二者等价

思路来源

dls

题解

经典问题

这个题的链版本也是经典问题，

19东北赛H见过其带修版本，22合肥好像也出了个不带修的

链版本中，维护差分数组中>0的项的和即可，具体可参考

第13届东北地区大学生程序设计竞赛 赛后补题_Code92007的博客-CSDN博客




 

而环上版本也有类似的结论，即max(原数组中的最大值,环上相邻项差分数组中>0的项的和)

考虑3 4 3 4，答案为4，可以先对[4,1,2]区间减1，化为2 3 3 3，然后3次操作即可

而直接考虑差分数组-1 1 -1 1是不对的，和链的区别在于，

链的第一项归零必须左端点为1，且操作a1次，

而环有些情况下可以互相抵消，使左端点必须在a1的小于a1次，

但答案又不可能比原数组中的最大值小，所以取一下max

必要性证答案>=maxai很好证，但是充分性证答案<=maxai感觉很难证，故记结论

atc的题解给出了另一个形式的结论，

即max(原数组中的最大值,环上相邻项差分数组的绝对值的和/2)

感觉用势的概念理解一下，从一个高度出发，绕一圈回到自身，上升和下降的和值显然相同

注意特判n=1的情况

代码

#include
#include
using namespace std;
const int N=2e5+10;
typedef long long ll;
int n,a[N];
ll ans;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    if(n==1){
        printf("%d\n",a[1]);
        return 0;
    }
    for(int i=2;i<=n;++i){
        ans+=max(0,a[i]-a[i-1]);
    }
    ans+=max(0,a[1]-a[n]);
    ans=max(ans,1ll*(*max_element(a+1,a+n+1)));
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}