数学之美：e^x 是如何得到的

背景

• 这些天在补自己的微积分短板，刚好看到 MIT 教授讲微积分的系列视频，看到了人家对于 $e^x$ 的推导豁然开朗，于是整理一下思路希望能够帮助到和我一样数学基础不怎么好的人。
• MIT 的视频
• $e^x$ 是 人为构造 的一个函数，人们试图构造一种函数，想让这种函数的微分$\frac{df}{dx}$ 与其自身是一致的， $\frac{df}{dx}=f(x)$ 我们把这个具有奇特性质函数表示为 $e^x$ 称为 自然常数为底数的指数函数。
• 在下面的内容中我们讨论两个问题：
  • 这种奇特的函数如何构造出来的
  • 这种奇特的函数为什么最终被划定为指数函数

如何构造

• 假设这个函数在 $0$ 处的值 $f(0)=1$
• 为了更好地演示这个函数 $f(x)$ 的构造过程，我们用下面的两行来表示，第一行表示的是 $f(x)$ 的构造过程，第二行表示的是 $\frac{df}{dx}$ 紧随其后的演变过程

第一行： $f(x)=1$
第二行：$\frac{df}{dx}=1$

• 当 $\frac{df}{dx}=1$ 的时候，就强迫 $f(x)$ 中就必须有一项 $x$，否则 $f(x)$ 求导之后就是 $0$ 了，为了保证求导后能够有 $1$ 这个项，所以 $f(x)$ 进化成了：

$f(x)=1+x$

• 为了保持一致，

$\frac{df}{dx}=1+x$

• 而因为 $\frac{df}{dx}$ 中出现了 $x$，这就导致 $f(x)$ 必须再多一个 $\frac{1}{2}{x}^2$ 因为只有这个东西求导之后为 $x$，因此

$f(x)=1+x+\frac{1}{2}{x}^2$

• 同样滴，$\frac{df}{dx}$ 也得要这个 $\frac{1}{2}{x}^2$ 项，所以：

$\frac{df}{dx}=1+x+\frac{1}{2}{x}^2$

• 数个步骤之后，两行公式变成了：

第一行：$f(x)=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{24}{x}^4$
第二行：$\frac{df}{dx}=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3$

• 到这一步，$\frac{df}{dx}$ 还是要加上那个 $\frac{1}{24}{x}^4$ 才能与 $f(x)$ 保持一致，按照这个势头下去，这是一个永远追逐下去的演变，无论是 $f(x)$ 还是 $\frac{df}{dx}$ 都在增加无数个后项，而 $f(x)$ 永远都多一项。
• 但是让我们先看一下规律，假设我们给 $f(x)$ 中每一项都加一个索引，即：第 $0$ 项，第 $1$ 项，第 $2$ 项…第 $n$ 项，那么 $$f(x)=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{24}{x}^4+...+\frac{1}{n(n-1)(n-2)...\times 1}{x}^n$$
• 同时 $\frac{df}{dx}$ 紧随其后：
  $$\frac{df}{dx}=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{24}{x}^4+...+\frac{1}{(n-1)(n-2)...\times 1}{x}^{n-1}$$
• 现在 $\frac{df}{dx}$ 就比 $f(x)$ 少一项，只要加上这一项，马上 $\frac{df}{dx}$ 就会达到和 $f(x)$ 完全一样的形态。但问题是，虽然看起来这个循环（互相追逐）是要永远没头地持续下去了，而且 $f(x)$ 永远多一项，但是这里体现的数学之美妙在于：$x^n$ 的增长速度远远小于他的分母，即 $n(n-1)(n-2)...\times 1$ 所以，在不知道经过了多少次拖尾之后，这个多出来的的一项在求极限的时候，就是 $0$，因此 $f(x)=\frac{df}{dx}$
• 所以我们现在构造出了 $e^x$ ，而他的导数等于它本身。

为什么$f(0)=1$

• 假设 $f(0)=0$ 那么：

$f(x)=0$
$\frac{df}{dx}=0$

• 这种情况下 $f(x)$ 已经与 $\frac{df}{dx}$ 相等了。。。那这样的话 $f(x)$ 不需要再增加后面的项来保持 $f(x)=\frac{df}{dx}$ 这个性质了，因为已经成立了
• 假设 $f(0)=5$

$f(x)=5$
$\frac{df}{dx}=5$

• 那么接下来 $f(x)=5+5x...$ 这其实和 $f(x)=1+x$ 并没有本质的区别

其实，我也不知道为什么这个 $f(x)$ 要从 $1$ 开始，但是假设你是从 $1$ 开始，那么你就可以认为在这种情况下 $f(x)$ 要保持 $\frac{df}{dx}$一致就得按照第一部分的推导来得到 $e^x$

为什么 $e^x$ 这个函数要写成指数函数形式

• 假设我的那个 $f(x)$ 目前不知道该写成一个什么形式的函数，那么为什么最终就选定了将这个 $f(x)$ 归为一个指数函数 $e^x$ 了呢？那肯定是因为他具备指数函数的性质。下面就让我们看一下 $e^x$ 是否具有指数函数的性质。

• 现在有一个 $e^x$ 一个 $e^y$ 如果是指数函数，那么 $e^x{e}^y=e^{(x+y)}$

• 首先还是先展开：
  $$e^x=\underline{1+x+\frac{1}{2}{x}^2}+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{24}{x}^4+...+\frac{1}{n(n-1)(n-2)...\times 1}{x}^n$$
  $$e^y=\underline{1+y+\frac{1}{2}{y}^2}+\frac{1}{6}{y}^3+\frac{1}{24}{y}^4+...+\frac{1}{n(n-1)(n-2)...\times 1}{y}^n$$

• 为了简单来看下，我们只取每个函数的前三项做一下相乘：
  $$\begin{gathered} e^x{e}^y=1+y+\frac{1}{2}{y}^2 \\ +x+xy+\frac{1}{2}x{y}^2 \\ +\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{x}^{2}y+\frac{1}{2}{x}^2{y}^2 \end{gathered}$$

• 化简一下：
  $$e^x{e}^y=1+x+y+xy+\frac{1}{2}(x^2+y^2)+\frac{1}{2}x{y}^2+\frac{1}{2}{x}^{2}y+\frac{1}{2}{x}^2{y}^2$$
  $$e^x{e}^y=\underline{1+(x+y)+\frac{1}{2}(x+y{)}^2}+\frac{1}{2}x{y}^2+\frac{1}{2}{x}^{2}y+\frac{1}{2}{x}^2{y}^2$$

• 下划线标出的部分就是 $e^{(x+y)}$ 中的前三项，后面的那些多余的项如果你把 $e^x$ 和 $e^y$ 的更多项展开，也会发现是一样的符合这个规律，所以：$e^x{e}^y=e^{(x+y)}$ 因此这符合指数函数的性质。

• 而且 $e^x$ 在 $x=0$ 时也确实 $=1$

• 所以我们把 $e^x$ 称为自然底数的指数函数。

求出 e 的具体数值

$$e^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{24}{x}^4+...+\frac{1}{n(n-1)(n-2)...\times 1}{x}^n$$

• 事实上，之所以 $e=2.71828$ 是因为当你拿到上面这个 $e^x$ 的指数级数公式，将 $1$ 带入就可以得到：

$$e^1=1+1+\frac{1}{2}{1}^2+\frac{1}{6}{1}^3+\frac{1}{24}{1}^4+...+\frac{1}{n(n-1)(n-2)...\times 1}{1}^n$$

• 这个级数是收敛的（这个我们已经说过，因为越往后他的值就越往 0 收敛），所以这个数肯定是大于 $e^1=1+1+\frac{1}{2}{1}^2+\frac{1}{6}{1}^3+\frac{1}{24}{1}^4$ 但一定是小于 $3$ 的
• 经过更加精确的计算之后，你就可以得到 $e=2.71828$

e 在微积分中的应用（复利的极限）

• 假设现在你在银行里存了 $1$ 块钱，按照每年 $100\%$ 的利息支付给你，你的钱在经过一年之后会变成 $2$ 块钱。经过 $n$ 年之后会变成 $2^n$ 元钱
• 但是如果银行比较勤快，每天给你计算一次利息，但是还是按照每年复利 $100\%$ 的利率。也就是每天复利 $\frac{1}{365}$ 那么这个时候你第二天获得的金额就是 $(1+\frac{1}{365}{)}^2$ 一年之后，你的金额会变成 $(1+\frac{1}{365}{)}^{365}$，这个数肯定是大于 $2$ 的。也就是说，在年复利率在定值的时候，银行给你算的越勤快（按天），你实际获得的钱就越多。那这个钱可以无限大么？不可以，那他的极限是多少呢？
• 假设银行计算你的收益无限频繁，导致一年内给你算了 $N$ 次，那么在年复利率 $100\%$ 的情况下，你的收益最多是 $(1+\frac{1}{N}{)}^N$ 而这个数的极限是 $e$，也就是说 $1$ 元钱在年复利率 $100\%$ 的情况下的最大收益是第二年变成 $2.7$ 元钱