反函数求导习题

反函数求导

例1

求函数$y=\tan ax$的反函数$x=x(y)$的导数。

解：
$\because$函数$y=\tan ax$严格单调递增且可导

\qquad 且$y^{\prime }=\frac{a}{{\cos }^{2}ax}$

$\therefore x=x(y)$可导

$x^{\prime }(y)=\frac{1}{y^{\prime }(x)}=\frac{co{s}^{2}ax}{a}$

$\because {\cos }^{2}ax(1+{\tan }^{2}ax)={\cos }^{2}ax+{\sin }^{2}ax=1$

$\therefore {\cos }^{2}ax=\frac{1}{1+{\tan }^{2}ax}$

$\therefore x^{\prime }(y)=\frac{{\cos }^{2}ax}{a}=\frac{1}{a+a{\tan }^{2}ax}=\frac{1}{a+a{y}^2}$

例2

求函数$y=x+e^x$的反函数$x=x(y)$的导数。

解：
$\because$函数$y=x+e^x$严格单调递增且可导

\qquad 且$y^{\prime }=1+e^x$

$\therefore x^{\prime }(y)=\frac{1}{y^{\prime }(x)}=\frac{1}{1+e^x}$