浮点数 C语言 IEEE754

知识内化：用自己的语言讲述一遍，把复杂的东西解释得简单透彻

计算机表示浮点数的问题：（自己分析一下这个问题）

输入是：任意一个浮点数，正无穷到负无穷，包括整数部分和小数部分 22222.99999999

限制是：计算机只有32bit来表示一个浮点数

输出是：如何利用这32bit来表示浮点数，尽可能范围大，精度高

方案探索

像科学计数法一样，10^20 =1e10不用自己用20个十进制的位来写，而是写成1.0*10^20

也就是科学计数法可以只写小数部分和指数部分，来表示一个范围更大的数，原来的计数方法是通过乘法和加法来表示一个数，现在是通过指数来表示，因此更少的bit可以表示更大的数

原来的方案：4bit   x = [1,2,3,4],  y = [power(2,i) for i in x]=[2,4,8,16]，最多表示到16= 2^4

科学计数法的方案： 4bit r= [2,4,8,16] , y = [power(2,i) for i in r]=[4,16, 256, 65536], 最多可以表示 2^16

用画图就可以很快看到两者的区别

 方案细化

接下来的问题是，我们讨论，多少bit给指数，多少bit给小数，精度和范围是多少

本质通用的二进制小数的表示位：类比十进制

 因为编码长度有限，就像十进制不能精确表示1/3，只能表示有限位的十为基底的数，那么二进制小数也只能精确表示以2为底的数，1/5 = 0.2 只能近似表示为 0.125+ 0.0xxxx + xxx+xxx

小数部分（有效数字）：23 位给小数，精度可以是 

 大概是1e-6, 1e-7的精度

指数部分（阶码）：8位， 带符号的      ,大概范围是   大概是 10的正负38次方

符号位：1位

一般表示：1.001101 *２＾ｎ　

问题：

• 0怎么表示
• 正负无穷怎么表示
• 一般数字怎么表示
• NaN 怎么表示（无效数字，不合法，比如除以0）

针对这个问题提出的解决方案，根据exp分成3中情况，全0，全1，非0非1

再分别看三种情况

1.第一种情况，本来8bit可以表示0~255,扣除全零全一，剩下1~254，我们默认偏移127， 得到-126~+127。 小数部分 M=1+f, 隐藏1开头的

 2. 第二种情况，指数为0，小数部分M=f  可以表示0，要意识到一个问题就是，ieee754的浮点数有两个0的表示，+0，-0

3.第三种情况：特殊值：正负无穷，NaN

下面的图是float8 e4m3

但有时候要跳出来，比如ieee754为什么NaN不定义为全为1，这样还可以释放exp=1111的情况、我在fp8的定义中就看到这个这个释放

float8 in DL

最近一个同事问我，为什么浮点计算遇到reduction不能自动向量化，提升unsfe,会改变计算顺序，我写出了下面这个demo. 本质是unroll 4就改变了计算顺序

#include <stdio.h>
 
int main()
{
    float f1 = -1e10f;
    float f2 = 1e-3f;
 
    float s = 1e10f;
    s = s + f1;
    s = s + f2;
 
    float p = 1e10f;
    float temp = (f1 + f2);
    p = p + temp;
    printf("s=%f, p = %f\n", s, p); // 0.001    p = 0
    return 0;
}

 最后再 v[0]+=v[1]  

            v[0]+=v[2]

           v[0]+=v[3]

s就是v[0]

本质原因是浮点数只有6到7位的有效数字，1+10^8，有效数字就不够表示了。

mitchell近似乘法计算

expbias= 127 = 0 0111 1111 +0*23

               = 0011 1111 1000 0000 0000 0000 0000

              = 0x3f80000

    float a = 12.3f;
    float b = 4.56f;
    int c = *(int*)&a + *(int*)&b - 0x3f800000;
    printf("近似结果：%f\n", *(float*)&c);
    printf("精确结果：%f\n", a * b);
    return 0;

如何操作浮点数的bit, 这里有一个链接：https://github.com/myisabella/datalab/blob/master/bits.c#L350

example

​​​​​​​

 

有效数字

#include <stdio.h>
int main()
{
    float a = 1e8;
    float b = a + 1.0;
    float c = b - a;
    printf("%f %f %f\n", a, b, c); // 1e8 结果为0，1e7,结果为1，有效数字
}

最后我写了一个python脚本，把float的编码翻译过程写了一下，对应上面的一个表和float32的一个例子

class binary:
    def __init__(self, b_str):
        self.str = b_str
        self.v = int(b_str, 2)
 
    @classmethod
    def from_int(cls, int_v):
        return cls(bin(int_v)[2:])
 
 
class Float:
    def __init__(self, num_exp, num_frac, exp_str, frac_str):
        self.num_exp = num_exp
        self.num_frac = num_frac
        self.exp_bias = int('1'*(self.num_exp-1), 2)
        self.frac_norm = 2**self.num_frac
 
        self.exp = binary(exp_str)
        self.frac = binary(frac_str)
 
        f = self.frac.v/self.frac_norm
 
        if self.exp.v == 0:
            # denormalized:all exp zero
            self.E = 1 - self.exp_bias
            self.M = f/self.frac_norm
        elif self.exp.v == int('1'*self.num_exp, 2):
            if self.frac.v == 0:
                print("inf")
            else:
                print("NaN")
        else:
            # normalized
            self.E = self.exp.v - self.exp_bias
            self.M = 1 + f
        self.v = 2**(self.E)*self.M
 
    def __str__(self):
        return f"{self.exp.str}:{self.frac.str}, E={self.E}, M={self.M}, v={self.v}"
 
 
class FloatE4M3(Float):
    def __init__(self, exp_str, frac_str):
        super().__init__(4, 3, exp_str, frac_str)
 
 
class FloatE8M23(Float):
    def __init__(self, exp_str, frac_str):
        super().__init__(8, 23, exp_str, frac_str)
 
 
data = [FloatE4M3('0000', '000'),
        FloatE4M3('0000', '001'),
        FloatE4M3('0000', '111'),
        FloatE4M3('0001', '000'),
        FloatE4M3('1110', '111')]
for i in data:
    print(i)
assert FloatE8M23('10000101', '10100110100000000000000').v == 105.625