两个不相交的闭集并不能保证两个集合可分

首先， 我们重申以下闭集的定义。如果一个集合的聚点都属于这个集合本身吗，那么这个集合是一个闭集。

比如$[0,1]$就是一个闭集，而$(0,1]$就不是。

接下来， 我们再来定义两个集合是否可分。首先我们要明确的一点是， 可分和交集为空是两个概念。也就是说即便是没有交集的集合也可能是不可分。要搞清楚这个概念就必须要搞清楚什么叫做可分或者说不可分。

如果下面的条件成立，则说明两个集合不可分。

d ( A , B ) = inf ⁡ { ∣ x − y ∣ : x ∈ A , y ∈ B } = 0 d(A,B)=\inf\{|x-y|:x\in A, y\in B\}=0 d(A,B)=inf{∣x−y∣:x∈A,y∈B}=0

比如：$[0,1)$和$[1,2]$，这两个集合他们之间的交集就是空集。但是这两个集合按照可分与不可分的定义来看$d([0,1),[1,2])=0$. 也就是说这两个集合并不可分。

或者我们用一种不太严谨的说法，两个集合的并集没有缝隙，那么就说明两个集合不可分。如果有缝隙就说明两个集合可分。而这个缝隙的数学含义就是$d(A,B)>0$.

现在我们可以来讨论，如果两个集合不相交且两个集合都是闭集的时候，并不能说明两个集合不可分。也就是说即便两个集合都是闭集且不相交，他们也可能不可分。用形式化的语言描述就是

$$\exists A,B(A\cap B=\varnothing \wedge A=\overline{A}\wedge B=\overline{B}\wedge d(A,B)=0)$$

$proof:$

证明这个结论， 其实很简单。我们只要构造出这样的例子就可以。本文就构造出两个例子，一个是在有理数集合里面构造出两个集合， 一个是在${\mathbb{R}}^2$里面

1. 在$\mathbb{Q}$里面, A = { n : n ∈ N } A=\{n:n\in \mathbb{N}\} A={n:n∈N}, B = { n + 1 / n : n ∈ N } B=\{n+1/n:n\in\mathbb{N}\} B={n+1/n:n∈N}。 这两个集合很明显是闭集，且$A\cap B=\varnothing$。但是${\lim }_{n\to \infty }n={\lim }_{n\to \infty }n+1/n$， 可见$d(A,B)=0$。

2. 在${\mathbb{R}}^2$里面， A = { { x , 0 } : x ⩾ 0 } A=\{\{x,0\}:x\geqslant 0\} A={{x,0}:x⩾0}, B = { { x , 1 / x } : x > 0 } B=\{\{x,1/x\}:x>0\} B={{x,1/x}:x>0}。同理，这两个集合也是闭集，且交集为空集。但是$d(A,B)=0$。

也就是说这两个例子都说明，即便两个都是闭集且交集为空，这两个集合依然可能是不可分。