• 稀疏矩阵转十字链表

    定义:

    十字链表(Orthogonal List)是有向图的另一种链式存储结构。该结构可以看成是将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的。用十字链表来存储有向图，可以达到高效的存取效果。同时，代码的可读性也会得到提升。

    ● 特点

            • 只保存非零值

     

            • 为每一行设置一个单独链表 , 同时也为每一列设置一个单独链表

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    如上图, 所示 ,进而进行快速索引

    ● 用途 : 

     正如我们在一个矩阵里面找数据 , 告诉我们坐标 , 我们当然不会一行一行的去找 ,

    我们会按行, 按列去寻找, 从而快速锁定目标

    所以 , 存储结构也是如此 , 我们一个很长的链表 , 我们如果通过逐个遍历 , 那当然是不现实的

    引论:       

    这时候 ,有的同学会有疑问 ? 数组不就是可以直接寻找到目标的吗 ?

          我们之前已经知道数组是顺序存储的 , 我们根据坐标 和 起始地址 就知道要寻找的元素的位置 .

        然而, 我们的链表 是可以不存储在同一块空间的 , 可以随机存储  , 我们运用十字链表 ,为每一行 , 每一列进行编号 , 然后再逐个遍历 , 大大降低了寻找的时间复杂度.

    数据结构的构思:

            所谓十字链 , 我们就是在之前我们单链表节点的基础上 , 增加了一个指针 , 然后我们就可以指向上下左右的节点了 , 就是如此

    下面我们开始构建数据节点的结构

    数据节点 :

    我们可以分成三类:  

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     头结点 :  

    所谓头结点 就是 十字链表中起到标识作用的节点 ,(i 保存行数 , j 可以保存列数)

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    行/ 列头结点 :

            就是每行 / 每列的头节点 , 我们这里构建成循环链表 ,方便遍历插入

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    数据节点 :

              就是存储插入数据的节点 , 在原来基础上 , 增加了两个指针 ,一个指向右边的元素, 一个指向下面的元素 

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    十字链表节点数据结构构思 : 

    我们之所以要创建不同的节点数据结构 ,就是因为不同的节点有不同的作用 , 所以我们根据我们的需要来进行相应的构建 ,可谓是随心所欲 , 看图构造 

    头结点 :

    我们既然要构建头结点 , 那就需要知道头结点的作用 , 头结点的作用就是 保存十字链表的信息 ,起标识作用 , 然后我们就需要定义 行数和列数的结构 ,

    int row ;

    int col;

    头结点还要能够指向下一个队/列的指针域 ,

    struct *link

    行  / 列 头结点 :

           因为我们有很多行 , 很多列 ,并且我们要访问一个节点 , 就要访问列和行 ,所以我们需要为每个行/列节点设置序号 , 每个行 , 每个列都要链接到一起 ,所以我们要设置指针

    *link        队列头结点链接

    *rigth      指向右边一个数据元素

    *down    指向下边一个数据元素

    总结了上面的分析 , 我们下面开始具体分析数据节点的数据结构

    我们观察头结点 和 队列头结点 ,他们很相似 , 都有 *down  , * right , link 指针 ,所以他们可以公用一个数据结构

    观察数据节点 , 和 头结点结构  , 他们都有代表行 row 和列 col, 的结构 ,  尽管他们代表的意义可能有差别 ,但是结构都相似 , 只是其中不同的结构就是 , 数据结构有数据区, 头节点只有指向下一个行/列的指针域  , 所以 我们可以根据传入的数据 , 来进行对应的赋值

    数据结构代码如下:

    先定义行和列

    1. # define M 3
    2. # define N 4
    3. //行数或者列数较大的数 ,作为最大头节点个数
    4. # define Max ((M)>(N) ? (M):(N))

    定义节点的共同数据

    1. typedef struct mtxn
    2. {
    3. // 定义行,定义列
    4.     int row;
    5.     int col;
    6. //定义节点指向右边和下边的指针
    7.     struct mtxn *right,*down;      //指向节点的数据类型注意标清
    8. //接下来,我们通过 union来通过传入的数据不同 , 来进行对相应类型的节点数据进行赋值
    9.     union
    10.     {    
    11.         //传入数据是整数的话,判定为数据节点,进而进行对相应节点赋值
    12.         int value;
    13.         //传入数据是指针的话,判定为行/列头结点,进而构造头结点
    14.         struct mtxn *link;
    15.     }tag;
    16. }MatNode;

    相关数据的详细定义:

    ● 每个非零元素用一个节点表示 , 其中 i , j, tag.value 分别代表非零元素所在的行号,列号和相应的元素值;
    ● 头节点的i,j 代表总行数和总列数
    ● down 和 right 分别称为向下指针和向右指针,分别用来链接同列中和同行中的下一个非零元素节点.
    ● 作为头结点, tag.value 变为tag.link,代表头结点的链 . 

    下面,为了我们后面构建十字链表 , 我们先假设已经创建好了十字链表 , 先尝试输出

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     输出十字链表

    我们观察上图,我们要遍历一行的话,需要跳转行头节点的右边节点,
    当一行遍历完的时候,需要跳转列头节点的下一个节点
    我们会发现,如果分开创建行/列节点的话,操作繁琐,并且定义麻烦
    我们不如第i行和第i列都使用一个头节点定义,这样既方便了信息共享,又可以节省空间,简化操作

    注意: 我们用一个节点,同时表示一列和一行

    1. //传入十字链表
    2. void DispMat(MatNode *hm)
    3. {
    4. 	// p保存开始遍历的节点信息,q用来遍历一行节点
    5. 	MatNode *p,*q;
    6. 	//输出总行数和总列数
    7. 	printf("行=%d 列=%d\n", hm->row, hm->col);
    8. 	//刚开始,遍历的节点是头结点的后继节点,就是第一行,第一列的头结点
    9. 	p=hm->tag.link;
    10. 	//下面,在没有遍历回来的情况下,进行接着遍历
    11. 	//我们现在是行/列节点公用,所以遍历到头的话,也代表遍历完了
    12. 	while(p!=hm)
    13. 	{
    14. 		//刚开始动用right指针的话,就说明是遍历行
    15. 		q=p->right;
    16. 		//此时q已经接管p那一行的节点,开始遍历输出
    17. 		//在p没有遍历回来的情况下,接着运行
    18. 		while(p!=q)
    19. 		{
    20. 		//输出节点信息
    21. 		printf("%d\t%d\t%d\n",q->row,q->col,q->tag.value);
    22. 		//接着遍历行的下一个数据
    23. 		q=q->right
    24. 		}
    25. 		//出来的时候,代表此行已经遍历完了,开始将p接着指向下一个队列头结点
    26.         //注意我们变换的指针数据类型即可
    27. 		p=p->tag.link;
    28. 	}
    29. }

     

    创建十字链表

    刚才我们体验了一把输出十字链表的快感 , 接下来就需要完成我们对应的接口服务了 , 

    根据需求, 来进行相应的构造 , 这也是我们设计代码的一种友好方式 .

    观察输出特点: 

    观察我们输出链表的模型 , 我们发现 , 我们的队列头结点是共用 行/列头结点的 , 这样的好处的是,简化操作 , 对同一个队列头节点 , 通过增加其指针的个数 ,来实现 共享行列数据 , 避免冗余 .

     观察队列的遍历方式 :

    我们发现 我们是通过循环单链表来进行遍历的 , 通过遍历节点的信息 ,进行判断是否遍历完成

    观察队列头结点的链接方式:

    我们因为共用队列 行/列 头结点 , 所以只用链接一个循环单链表串即可 

    观察数据节点的链接方式:

    因为这是链表 , 所以数据链接 ,需要定义 *down指针 和 * right 指针 ,

    插入的时候 , 需要尾插法插入

    数据节点插入的位置:

    插入固定行 ,固定列 ,所以需要定位特定的队列头结点  ,所以需要遍历 ,所以我们需要对队列头结点进行相应的标号

    下面开始代码实操:

    我们要构造十字链表,我们就回归最初的想法 
    我们想把矩阵存放在链表里面 ,但是单链表查找困难,我们就想到一个办法,利用十字链表,通过行列头结点的跳跃寻址,进而快速查找

    我们先构造头结点 , 然后构造行/列头节点 ,接着链接行/列头结点 , 接着创建数据节点, 在行表中插入 ,在列表中插入 .

    以上是我们构建十字链表形成的大致思路:

    接下来开始代码实施, 涉及细节的话 , 我们接着进行相应的分析:

     

    1. //下面开始构建
    2. //传入矩阵,进行构造十字链表
    3. void CreatMat(MatNode *&mh , ElemType a[][N])    //(要构造的十字链表指针地址,矩阵数组)
    4. {
    5. 	一 .构造十字链表头结点
    6. 	二 .采用尾插法链接头结点 ,形成循环链表
    7. 	三 .创建数据节点
    8. 	四 .在行表中插入
    9. 	五 .在列表中插入
    10. }
    11.

    创建十字链表 头节点

    //为头结点分配空间

    mh = (MatNode *)malloc(sizeof(MatNode));

    //头节点的行数,列数赋值

    1. mh->row = M;
    2. mh->col = N;

    二 .采用尾插法链接头结点 ,形成循环链表

    我们要考虑后续数据节点,按照行列快速寻找插入位置 , 我们把每个队列头结点 ,按照行列顺序 , 依次放在数组里面 ,这样我们就可以快速查找到行列头结点 , 然后进行后续的遍历插入

    //定义存储队列头结点的数据,方便快速寻找

    MatNode *h[Max];

    //采用尾插法,我们首先定义尾指针,初始指向头结点

    MatNode *r;

    r = mh;

    //接下来通过为每个行列头结点分配空间,创建节点,然后链接
    for(i = 0; i {
        //为行/列头结点分配空间
        h[i] = (MatNode *)malloc(sizeof(MatNode));
        //刚开始创建节点的时候,节点都指向自身,构成循环链表

      //注意: 此时链接的是每一行,每一列的队列头结点的down, right 指针,刚开始都指向自身,

      //后续会和数据节点 构 成循环链表 
        h[i]->down = h[i]->right = h[i];

    //此时链表的队列头结点 ,要注意区分
        r->tag.link = h[i];
        r = h[i];
    }

    //队列头结点链接完后, 为了构成循环链表 ,方便后续遍历输出 , 所以尾结点指向 头结点 mh
    r->tag.link = mh;

    // 注意 : 我们每行 , 每列 的 行 / 列头结点 , 都是运用一个队列 头结点 ,好处的方便数据共享 ,方便查找 , 

    只需要多增加两个指针 , 就可以管理 插入行列数据节点了 , 所以上面我们只链接了一组队列头结点 

    也能构成逻辑上的十字链表 

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    开始构建数据节点 ,然后插入到行表和列表
    //注意行表和列表 , 我们只需要根据插入的坐标进行找到对应的行列 ,然后再进行遍历查找插入即可
    int i,j;
    MatNode *h[Max];
    MatNode *p,*q,*r;
    for(i = 0; i {
        for(j = 0; j < N; j++)
        {
            //寻找非零节点
            if(a[i][j]!=0)
            {
                //创建节点,包含数据区和坐标
                p = (MatNode *)malloc(sizeof(MatNode));
                p->row = i;
                p->col = j;
                p->tag.value = a[i][j];
                //创建完,就可以进行插入了
                //先在行表中插入
                //先找到具体的行号
                q = h[i];
                //然后进行寻找对应的列号
                //此时我们进行思考, 我们要插入到特定列,特定行的位置上

                 //见下图分析:

                while(q->right != h[i] && q->right->col             {
                    q = q->right;
                }
                p->right = q->right;
                q->right = p; //完成行表的插入
                //在列表中插入
                q = h[j];
                while(q->down !=h[i] && q->down->row             {
                    q = q->down;
                }
                p->down = q->down;
                q->down = p;
                

            }
        }
    }

    我们的数据节点 ,如何插入到特定的位置上呢 ? 

    我们首先观察行链表 , 我们可以通过 数据h [ i ] 来找到特定的行 , 然后接下来 , 我们就需要在行列表的基础上进行插入了 , 

    此时是一个链表

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    行坐标已经找到了 ,接下来 我们要插入的位置就是列坐标为 j 的位置 ,  

    首先我们要遍历这个链表 ,直到循环链表遍历完, 回到原点 

    while (q->right != h[ i ] )

    然后我们要插入的地方是 第 j 列 ,因为不是每个节点都有数据节点  ,所以我们按顺序插入的话 , 需要插入到 (i , j)左边非零节点的后面

    按顺序插入的话, 我们要插入的位置(i,j) 此时右边是没有链表的(因为是按顺序,还没有插入),所以插入的位置 也就是链表的末尾位置

    所以我们进行往右遍历 ,遍历到末尾 , 直到数据节点的列小于 j 的最后一个元素 ,并且 此数据节点的下一个元素就指向队列头结点 ,就跳出 

    while (q->right != h[ i ] && q->right->col < j)

    {

            q = q->right;

    }

    //跳出的时候, q指向我们要插入的位置的前一个链表数据元素

    //接下来进行插入即可

    //把尾指针先交给新节点的后继指针 right

    p -> right = q->right;

    //接着把 新节点的位置指向 新节点

    q -> right = p;        

    //完成行表的插入

    //注意: 上面两步,步骤不能调换 ,避免覆盖指针

    列表中插入,也是同理: 不一一赘述,

    评价 :

           ● 十字链表 中每一个非零元素同时包含在所在行的行链表中 , 和所在列的列链表中 , 大大降低了链表的长度, 方便了算法中行方向和列方向的搜索 ,因而大大降低了算法的时间复杂度 .

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    延伸 : 

    用十字链表的思维解决问题

    对于二维集合 ,当其中有不同数量的集合的时候 ,我们就可以用十字链表来进行链表 ,进而进行分层查找

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    数据节点的结构定义:

    1. typedef struct dnode
    2. {
    3. 	Elemtype data;
    4. 	struct dnode *next;
    5. }DType;

    定义头节点的结构:

    1. typedef struct hnode
    2. {
    3. 	struct hnode *link;
    4. 	//定义后继指针的类型 ,就是DType
    5. 	DType *next;
    6. }HType;

    接下来 ,我们进行相应的链接头结点 ,然后链接数据节点即可 ,进行遍历集合的时候 ,注意构建集合的数据结构即可 

    这里只做拓展 ,不做详细构造 .

    十字链表完整代码如下:

    1. #include 
    2. #include 
    3. #define M 3                     //矩阵行
    4. #define N 3                     //矩阵列
    5. #define Max ((M)>(N)?(M):(N))   //矩阵行列较大者
    6. typedef int ElemType;
    7. typedef struct mtxn
    8. {
    9.     int row;                    //行号
    10.     int col;                    //列号
    11.     struct mtxn *right,*down;   //向右和向下的指针
    12.     union
    13.     {
    14.         ElemType value;
    15.         struct mtxn *link;
    16.     } tag;
    17. } MatNode;          //十字链表类型定义
    18.  
    19. void CreatMat(MatNode *&mh,ElemType a[][N])
    20. {
    21.     int i,j;
    22.     MatNode *h[Max],*p,*q,*r;
    23.     mh=(MatNode *)malloc(sizeof(MatNode));//创建十字链表的头节点
    24.     mh->row=M;
    25.     mh->col=N;
    26.     r=mh;                   //r指向尾节点
    27.     for (i=0; i//采用尾插法创建头节点h1,h2,…循环链表
    28.     {
    29.         h[i]=(MatNode *)malloc(sizeof(MatNode));
    30.         h[i]->down=h[i]->right=h[i];        //将down和right方向置为循环的
    31.         r->tag.link=h[i];                   //将h[i]加到链表中
    32.         r=h[i];
    33.     }
    34.     r->tag.link=mh;                         //置为循环链表
    35.     for (i=0; i//处理每一行
    36.     {
    37.         for (j=0; j//处理每一列
    38.         {
    39.             if (a[i][j]!=0)                 //处理非零元素
    40.             {
    41.                 p=(MatNode *)malloc(sizeof(MatNode));   //创建一个新节点
    42.                 p->row=i;
    43.                 p->col=j;
    44.                 p->tag.value=a[i][j];
    45.                 q=h[i];                         //查找在行表中的插入位置
    46.                 while (q->right!=h[i] && q->right->col
    47.                     q=q->right;
    48.                 p->right=q->right;
    49.                 q->right=p; //完成行表的插入
    50.                 q=h[j];                         //查找在列表中的插入位置
    51.                 while (q->down!=h[j] && q->down->row
    52.                     q=q->down;
    53.                 p->down=q->down;
    54.                 q->down=p;      //完成列表的插入
    55.             }
    56.         }
    57.     }
    58. }
    59. void DispMat(MatNode *mh)
    60. {
    61.     MatNode *p,*q;
    62.     printf("行=%d  列=%d\n", mh->row,mh->col);
    63.     p=mh->tag.link;
    64.     while (p!=mh)
    65.     {
    66.         q=p->right;
    67.         while (p!=q)        //输出一行非零元素
    68.         {
    69.             printf("%d\t%d\t%d\n", q->row,q->col,q->tag.value);
    70.             q=q->right;
    71.         }
    72.         p=p->tag.link;
    73.     }
    74. }
    75. //本主程序用于调试
    76. int main()
    77. {
    78.     ElemType a[M][N]= {{1,0,3},{0,2,0},{0,0,5}};
    79.     ElemType b[M][N]= {{-1,0,2},{0,-2,0},{1,0,-5}};
    80.     MatNode *mx,*my;
    81.     CreatMat(mx,a);
    82.     CreatMat(my,b);
    83.     printf("a的十字链表:\n");
    84.     DispMat(mx);
    85.     printf("b的十字链表:\n");
    86.     DispMat(my);
    87.     return 0;
    88. }

     

     

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