李永乐六套卷复盘

冲刺六套卷

卷一

选择题

1. 求值域的水题

2. 等价无穷小比阶

   • 一般公式:
   • 如果上下限是等价无穷小 就要注意一下

3. 考察函数极值拐点概念，需要注意一下
   

4. 水题：求导代值

5. 分段函数的连续可导问题 也算水题

6. 水题：AB画图用单调性，CD用特殊函数2x+y代入，秒了

7. 水题：感性分析一下

8. 两种做法

   1. 是硬刚：我就是硬算，确实挺费时间，不推荐.
   2. 根据性质
      • 根据B是秩一矩阵，迹也可以求出来 → 求出B的特征值
      • 进而可以得到A的特征值，找到 最小特征值a
      • 找到B中对应a的特征值的特征向量就可以了 （他们的特征向量相同）
      • 下面的表格一定要背下来

9. AC 二选一我选错了 我醉了

   • 解析的证明有点难，再看看吧

10. 常规做法：

    1. 列出二次型矩阵A
    2. 因为α是A的特征向量，则有Aα=入α →解方程组，求出参数 a和 入
    3. 有了a，就可以求|入E-A|，求出A的所有特征值
    4. A+kE的特征值也能表示出来了，又给了A+kE的标准型（系数都是大于0的），就可以求出k的范围。
       做法好好看看

填空题

11，12，14，15：水题

13. • n分奇偶讨论
    • 

15.有个变式可以看看，比15题是好

14. 两种方法：
1.正定的充要条件：顺序主子式均大于0
2. 正定严格的意义：任意 x≠0，f(x1,x2,x3)=$X^T(A^{T}A)X$＞0
恰好$X^T(A^{T}A)X$=$(AX{)}^{T}AX$是内积，（因为内积${\beta }^T\beta \ge 0$），所以只要把等于0的情况扣掉即可

解答题

17. （I）假如给你两个微分方程的式子，让你求f(x)的表达式。有两种做法
    1. 先根据一个式子求出带参数的f(x)，再代入另一个式子，求出满足条件的f(x)表达式。
    2. 两个式子联立，求出f(x)表达式。
    （II）求两阶导，二阶导变号的点 ，即拐点

18. 常规求旋转体体积
    * 注意：图形各自先算，再相减（或加）。

19. 其实是个水题：想办法把绝对值去掉。（分成内圈和外圈求，有点像吃鸡的毒圈）

20. 坑题，坑死我了——不要漏解。这道题恰好是那个简单解 满足情况

21. 唬人的罗尔定理
    

22. 常规二次型

1.求参数a

1. 写出f对应的矩阵A,和g对应的矩阵B
   2. 因为f是 经过正交变换得到的g，所以A，B一定相似的
   3. AB相似→tr(A)=tr(B)（迹定义为对角线元素的和（也等于特征值的和）） 求出a

2. 求Q

通过AB相似作为桥梁： $Q_1^{-1}A{Q}_1=$/\ $=Q_2^{-1}B{Q}_2$
进而得到 $Q_2{Q}_1^{-1}A{Q}_1{Q}_2^{-1}=B$
即 $(Q_1{Q}_2^{-1}{)}^{-1}A{Q}_1{Q}_2^{-1}=B$
$所以x=Qy的Q=Q_1{Q}_2^{-1}=Q_1{Q}_2^T$
所以首要问题就是求A的特征值和特征向量和B的特征向量（AB特征值相同）

卷二

选择题

1. 巧做：特殊值取x=0，秒选。
   • 单调性 定义域值域去判断，但是就很慢
2. 水题，知道极值点拐点性质就能秒。

传输门

3. 分母等价$\frac{1}{2}{x}^2$,极限又为1.所以分子 ln(1+x)+f(x)~$\frac{1}{2}{x}^2$

   • 不妨设 f(x)=$\frac{1}{2}{x}^2$-ln(1+x)=$x^2-x$
   • 可求出F(x)=$\frac{1}{3}{x}^6$-$\frac{1}{2}{x}^4$
   • $F^{(3)}(0)=0,F^{(4)}(0)＜0$ 所以F(x) 在x=0处，取极大值。

4. 选项出的水，太好排除。知识点：多元微分学

传输门

5. 水题：反常积分，很好做

6. 间断点类型判断：正常做，细心一点，不要畏惧。

   • x=0：$f=\frac{1}{1-1}=\infty$ 第二类间断点（无穷间断点）
   • x=1：$x=1^{+},f=1；x=1^{-},f=0$ 第一类间断点（跳跃间断点）

7. 常规的无条件极值问题

   • 先找驻点：$f_x=f_y=0$
   • 判别式：$AC-B^2>0$

8. 解的线性组合

   • 系数之和为0 是齐次方程Ax=0的解
   • 系数之和为1 是非齐次方程Ax=b的解

9. 两种做法

   • 常规做法：先求出A+2B，再取行列式，提系数，拆两项。
     • 
   • 特殊值法：令$A=\left(\begin{array}{cccc}3& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right)$

10. 求出PAP=C ,$P=P^T$ 所以AC合同。

    • 若AC相似，则|A|=|C|。 所以PAP=C两边取行列式，得4|A|=|C|.所以不相似。

填空题

11,12,15.水题
13. 就是个计算题 ，让所求为A ，开始算。（细心，别算错）

14. 旋转体表面积的公式要记住。（积分不会求太尴尬了，T_T）
    • 有几个变式可以看一下
15. 已知有二重特征值，所以 c=1 或者 2

    • 有结论：二重特征值，必有两个特征向量。
      

    • 所以不妨一个一个试。

      • c=1，求1E-A的特征向量 是不是有两个
      • c=2，求2E-A的特征向量 是不是有两个

解答题

17. 常规题

    • y’分离出来 ，找极值点。
    • 解可分离变量的微分方程。从而得极值的具体数值。

18. 考查二重积分： 看懂题，然后会画双曲线图像，知道要求的是哪些区域，最重要的是那两个积分会求。好题。

    • 所求区域为$S_{红}-S_{绿}$，也可以表示为$5\Pi （圆）-2S_{绿}$
    • $S_{绿}$的求解：
    • 注意：不好算的三角代换，先当不定积分求，最后再带值。
    • 公式看一看：

19. (I) 用分部积分证明

    • 

（II）根据第一问去递推。

20. 常规题：但是隐函数求导别求错了

    • 第一问 ：求完一阶导，不要整理式子，直接求二阶导，然后判断极值点。因为整理完再求二阶导容易出错 。
    • 第二问：正常做，就是个往上靠

21. 简单证明题
    我的做法：

    • （I）想到全微分 dz=f’xdx+f’ydy 就秒了，得dz=0，再一积分：z=c，秒了。
    • （II）第一问做出来，第二问就往第一问靠，很简单。

    解析做法：用的是定义 比较繁琐。

22. ※线代大题

    • 可逆线性变换：用配方法
    • 正交变换：用特征值，特征向量
    • 求a：
      • $f=x^{T}Ax经过可逆线性变换x=Py,得到g=y^{T}By$可知A与B合同，则$r(A)=r(B)$
      • 突破口：这里可去求|B|=0，B中又有二阶子式不为0，从而得得到r(B)=2
    • 求P

卷三

选择题

1. 水题：简单带个值秒了，C，D用一下抓大头的思想

2. 水题：可爱因子。提一个1/n,就变成定积分的定义

3. 二阶微分方程的求解，分析参数：

   • 常规步骤：求齐次通解（r=0±ai），设非齐特解。
   • 我理解的周期解：Ax=b，b：只含三角函数。
   • $a^2\ne b^2时,k=0。有y^{\ast }=x^k{e}^0（cosbx+sinbx）$

5. “单调的微观意义”:

   • 假设$f^{\prime }(0)>0,存在\sigma ＞0，$
     • $任意x\in (0,\sigma ),f(x)>f(0)；$
     • $任意x\in (-\sigma ,0),f(x)＜f(0);$

6. 常规题：分段函数的连续可导性及导数的连续性

   • 连续性：代值大概看看
   • 可导性：左右导数是否一样
   • 导数连续性 ： 点处用定义，区间用导数公式

传送门

7. 直接带特殊值比大小，最快。
10. A矩阵，入=1为2重特征值，r(E-A)=1,若AB相似，只需要看4个选项，哪个r(E-A)=1.

填空题

11. 对隐函数全微分
12. 凑导数定义
13. 麦克劳林展开
14. 分部积分： 反对幂指三dx 看谁离dx近。
15. 三阶齐次微分方程求通解： 先找一个根，再用长除法。
    • 不过，这个题恰好是$(a+b{)}^3=a^3+3a^2+3b^2+b^3$
    • 如果看不出来还得用长除法
16. A是秩一矩阵，所以特征值为 tr(A)，0，0，所以标准型是$y_1^2$

解答题

17. 积分计算
    1. 三角代换：令x=sint
    2. 稳妥做法:继续用倍角公式做。
    3. 但是我有个疑问，为什么不能用这个公式
18. 令u=$\sqrt{x^2+y^2}$,可以看出来是对称的 所以在求二阶偏导，求x或者y任意一个就行。
19. t∈(0,x),所以绝对值直接可以去掉。求出$f(x)=\frac{x^3-x2}{6}$ 有了f(x)剩下的就正常求就行了。

卷四

选择题

1. 反列：{1，0，2，0……，n，，0}; 实在不会，就用句意排除有“都”的不选。
2. 代数判断一下。
3. 多元微分的概念。反例：

传输门：多元微分学概念

4. 解之间进行加减 还是解，进行乘除就不一定了。
5. 注意巧解：换元：t=x-2，+奇偶性。奇函数的泰勒展开偶次项为0
6. 积分学的概念。
   

传输门：积分学的概念

7. 累次积分
8. 线性相关→不满秩→通过行列式为0突破
9. 矩阵相似→具有相同的特征值。
10. ……

填空题

11. 正常求，别漏解。
12. 泰勒展开。

传输门

13 极坐标下，求切线方程。
1.求切线斜率的时候

14 求函数y在某区间的平均值：就是在该区间对y积分之后 ，除以区间长度。

15 实际问题的应用：一看答案太简单了，自己一做狗屁不是。
16 送分题 ，初等矩阵

初等矩阵的逆矩阵。

• 

最后三套卷（过线急救版）

卷一

选择题

1. 看见e，|x|，arctan 分左右讨论。$e^{\frac{3}{x}}=(e^{\frac{1}{x}}{)}^3$

2. F(x）在x=0点可导的充要条件是$F_{-}^{\prime }(0）=F_{+}^{\prime }(0)$

3. 拐点：不光要f"(x0)=0，还要f"(x0)左右变号

4. 分部积分正常算。

5. 全微分正常算，然后代值。

6. 二重积分的比较大小

7. 微分方程的求非齐通解（基础题）

8. 因A,B可逆,故AB可逆,再由A+B=AB,知A+B可逆。

   • B-E可逆，则（B-E)x=0,只有零解。

9. Ax=0有两个线性无关的解→n-r(A)≥2，则r(A)≤n-2→A为零矩阵→任意解都是A的解。

10. 判断正定有三个方法。
    1. 顺序主子式都大于0
    2. 特征值都大于0
    3. 正惯性指数p=n

三阶以内顺序主子式快，三阶以外特征值快

填空题

11. 莱布尼兹公式

12. 线性主部（dy）

13. 反常积分的计算：拆分+倒带换

14. 弧长公式+常用积分公式
    

15. ※多元函数的链式求导法则

16. A经过可逆线性变换得到B→A，B合同→r(A)=r(B)

    • r(A)=r(B)=2
      • |A|=0，求a
      • A化成行阶梯形，求a

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