计算机组成原理浮点数表示

浮点数表示

浮点数的表示分为阶码和尾数；
比如3.026*10¹¹;阶码是+11;尾数是3.026；
对于阶码：
阶符为正，小数点向后移n位（n表示阶的大小）;
阶符为负，小数点向前移n位（n表示阶的大小）;

对于尾数：
数符表示正负，数值表示绝对值的大小;
显然尾数的位数越多，表示的数字的精度越高：
3.02610⁴=30260;
3.026510⁴=30265;

阶码和尾数的表示：

二进制浮点数如何确定真值？

阶码用E表示，尾数用M表示，r=2（阶码的底数，通常为你是二进制就是2，是十进制就是10，但是也可以是4,8等等）;
所以浮点数的真值表示可以有上图公式计算得出；

浮点数的规格化

因此对于b: 010；0.01001;如果采用1B的空间来存储浮点数b的话，那么因为是9位：010001001，所以最后一位1会被舍弃，从而丢失了一些精度；但是数值位的最高位（符号位必须保留）却是0，是无效的数值位；因此对于b可以进行规格化：将尾数的数值位全部左移一位，0.01001变成了0.1001，同时阶码-1:010->001;于是就保留了精度；010 0 01001 -》001 0 1001(8位）

双符号位与溢出的挽救

尾数的表示范围

1.用原码表示的位数的表示范围（数值位的最高位必须是1，如果最高位不是1需要进行规格化，因为最高位是0的话是无效位）

类比定点小数的表示范围：

重述一下顶点小数的补码的表示范围为什么是-1~ 1-2^-(n-1)：
对于定点整数
设位数一共为8位
原码表示范围为 -127-127，即1111 1111~0111 1111
反码表示范围为 -127-127，即1000 0000~0111 1111
补码表示范围为 -128-127，即1000 0000~0111 1111
我们可以尝试求一下-128的原码，但可以发现7位二进制表示不出来，必须得用8位二进制表示，但这样符号位就被占用了。但由于上面说的补码比原码和补码少一个0的表示方法，这就让补码多了一个10000000来表示其他的数，这里具体的细节我也不是很懂@_@，但可以这样记吧，-1到-127已经有对应的原码和补码了，所以也会有对应的补码，而10000000首位是1代表负数，不能和其他数的表示起冲突所以就是-128了。由此，补码可以表示128个负数，1个0以及127个负数共256个数

对于定点小数
还是设位数一共8位
原码表示范围为1.111 1111 ~0.111 1111，即-127/128到127/128
反码表示范围为1.000 0000~0.111 1111，即-127/128到127/128
补码表示范围为1.000 0000~0.111 1111，即-1到127/128
在这里原码和反码都好理解，就是补码会有一个问题，为什么补码会有一个1.000 0000而且居然对应的值是-1，也就是说如果小数用补码表示的话最小值是-1。这里如果用一开始说的取反加一你会发现根本不是这个值。之后才知道取反加一靠的是原码，但看前面原码的定义公式你会发现原码根本表示不了定点小数-1，原码所能表示的是定点整数-1，定点小数-1这里严谨一点的话其实是-1.0。
这里要求定点小数-1.0的补码的话就要用到上面的补码定义公式了（要不然我怎么会贴hhh），由公式可知，-1.0的补码为2+X = 2-1.0 = 1.000 0000
当然也有这样的理解
总结：由于补码表示0的唯一性，补码比原码少一个-0的表示，多一个-1的表示以及负整数表示范围多了一个-128
PS：主要是把自己最近碰到的问题写一下让自己记牢一些。其实如果把上面贴的几个公式吃透的话这些问题根本不会有的orz，注意对比原码反码补码边界的取值你会发现其实说的就是这些东西orz

有关定点整数和小数的表示范围详细还请参考传送门

对于用补码表示的尾数的取值范围，当符号位是1的时候数值为最高位必须是0，符号位为0的时候，数值位的最高位是1，这样有利于硬件的设计；

补码表示的浮点数的规格化

1.1110100 -> 1.0100000然后110要-3->011;
结果0011；1.0100000;