Acwing算法基础学习笔记（二）二分

目录

二、二分

2.1 整数二分

2.1.1 基本思想

2.1.2 主要步骤

2.1.3 看个题目

2.2 浮点数二分

2.2.1 基本思想

2.2.2 看个题目

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二、二分

2.1 整数二分

2.1.1 基本思想

        二分的本质：二分就是找到一个性质，可以将一组数据一分为二，使得一边是满足的，另一边是不满足的，二分就是用来寻找这个性质的边界，并且保证性质在区间之内

        整数二分就是对整数进行二分，需要小心对应找中间值的处理，小心陷入死循环

        二分可以解决单调性的问题，但是没有单调性也不是不可以二分

2.1.2 主要步骤

        L                                                   r
        |———————|———————|

第一种情况：找左边的性质的边界

 Step1⭐. 确定分界点：找中间值  mid = (l+r+1)/2 ，然后检查一下这个分界点是否满足左边的性质

 Step2、调整区间：如果mid满足，则用 [mid,r]， 使 l=mid；

                                 如果不满足，用[l,mid-1]， 使 r=mid-1

第二种情况：找右边的性质的边界

   Step1⭐、确定分界点：找中间值 mid = (l+r )/2，然后检查一下这个分界点是否满足左边的性质

   Step2、调整区间：如果mid满足，则用 [l, mid]，r=mid；

                                  如果不满足，用 [mid+1,r]，l=mid+1;

//为什么第一种情况中需要补上+1？

        例如说，当l = r-1的时候，mid如果只是(l+r)/2，就还是l，如果mid满足条件，更新l=mid，l就还是原来的l，会陷入死循环，所以要加1，让mid算出来是r

//如何判断，更新中间值的时候，需不需要加一⭐

        可以在写代码的时候，先不加1，然后 在调整区间的时候，看一下更新的时候，如果 r=mid-1 有减一的操作，就再去中间值更新的地方加上1，如果更新区间的时候，mid+1 或者直接取mid 没有加减操作的，就都可以不用补加一。

Step3、一直到最后，l 会和r 相遇，判断一下l  是不是我们要找的，就完成了。

2.1.3 看个题目

Acwing 789题  数的范围   链接：  AcWing 789. 数的范围 - AcWing

像这种查找问题，特别是查找边界的问题，感觉 都会用二分，

这个题的题目描述和解题代码如下：

/* 
    这个题是需要求输入的数，在数组中的起始位置和结束位置
    像这种求边界的问题就 很适合用 二分查找 来解决问题
*/
 
#include 
using namespace std; //前两行 不练就会忘记了，嘤嘤嘤
 
const int N = 100010;
 
int q[N];
 
int main(){
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
 
    for(int i = 0; i
        scanf("%d", &q[i]);
    }
 
    while(m--){
        int x =0;
        scanf("%d", &x); // x即为这个要求边界的数
 
        int mid;
        //先看左边界
        int l = 0, r= n-1;
        while(l < r){
            mid = l + r >> 1;
            if(q[mid]>=x){
                //如果q[mid] ≥ x，说明，左边界在mid左边或者就是mid
                r = mid;
            }else{
                l = mid+1; //这个地方是+1，所以更新mid的时候不用加1，不会造成死循环
            }
        }
        //最后的时候，l 会跟 r相遇，来判断一下这个时候的情况，如果是x，那就是找到了，如果不是x 那就是数组里都没有x
        if(q[l] == x){
            cout << l << " ";
        }else{
            cout << "-1 -1" << endl;
            continue;// 在这里就可以跳出这一层了
        }
 
        //在判断右边界
        l=0, r=n-1;
        while(l
            mid = l + r +1 >> 1;
            if(q[mid] > x){
                //如果q[mid]大，说明右边界，在mid左边
                r = mid-1; //这个地方减一了 就要记得mid更新的地方+1一下；
            }else{
                l = mid;
            }
        }
        cout << l << endl; //有左边界就肯定有右边界，所以这里不用更新
    }
    return 0;
}

2.2 浮点数二分

2.2.1 基本思想

        也是找到一个边界，但是 每次都是严格的分成一半，就不需要考虑边界加一，只要保证答案一直在区间之内就行，然后在区间足够小的时候，就认为是一个数了，例如说已经达到10的-8次方了，就认为 l = r

       

2.2.2 看个题目

AcWing 790. 数的三次方根 - AcWing

求一个数的三次方根，题目要求精度在-6次方，来看代码：

#include 
using namespace std;
 
//浮点数的二分问题，看起来比整数二分更加简单
 
int main(){
    double x; // 注意这里的类型是double,
    cin >> x;
    double l = -100, r = 100; //注意题目给的数的三次方后，有正有负，且答案都在-100 到100 之间，注意区间别再携程0——x了
    while(r-l > 1e-8 ){
        double mid = (l+r)/2;
        if(mid*mid*mid >= x){
            r = mid;
        }else{
            l = mid;
        }
    }
 
    printf("%lf\n", l);  //默认保留6位小数，C语言四舍五入
    //%f代表单精度浮点型数据(float)，%lf代表双精度浮点型数据(double)。
 
    return 0;
}

来自y总的经验：如果题目要求的精度是-4次，那就算到-6，如果要求-5 就算到-7，总之每次都要多两位小数，这样可以避免误差