高等数学（第七版）同济大学 习题10-1 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题10-1

 

$\begin{array}{rlr}& 1.设有一平面薄板（不计其厚度）占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布有面密度为\mu =\mu (x,y)的电荷，& \\ & & \\ & 且\mu (x,y)在D上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷Q.& \end{array}$

解：

  用一组曲线网将 D 分成 n 个小闭区域 Δ σ i ，其面积记为 Δ σ i ( i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) ，任取一点 ( ξ i ,   η i ) ∈ Δ σ i ，   则 Δ σ i 上分布的电荷 Δ Q i ≈ μ ( ξ i ,   η i ) Δ σ i ，通过求和取极限，得到该薄板上的全部电荷为    Q = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n μ ( ξ i ,   η i ) Δ σ i = ∬ D μ ( x ,   y ) d σ ，其中 λ = m a x 1 ≤ i ≤ n { Δ σ i 的直径 }   用一组曲线网将D分成n个小闭区域Δσi，其面积记为Δσi(i=1，2，⋅⋅⋅，n)，任取一点(ξi, ηi)∈Δσi，  则Δσi上分布的电荷ΔQi≈μ(ξi, ηi)Δσi，通过求和取极限，得到该薄板上的全部电荷为  Q=limλ→0n∑i=1μ(ξi, ηi)Δσi=∬Dμ(x, y)dσ，其中λ=max1≤i≤n{Δσi的直径} ​  用一组曲线网将D分成n个小闭区域Δσi​，其面积记为Δσi​(i=1，2，⋅⋅⋅，n)，任取一点(ξi​, ηi​)∈Δσi​，  则Δσi​上分布的电荷ΔQi​≈μ(ξi​, ηi​)Δσi​，通过求和取极限，得到该薄板上的全部电荷为  Q=λ→0lim​i=1∑n​μ(ξi​, ηi​)Δσi​=∬D​μ(x, y)dσ，其中λ=max1≤i≤n​{Δσi​的直径}​​

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$\begin{array}{rlr}& 2.设I_1={\iint }_{D_1}(x^2+y^2{)}^{3}d\sigma ，其中D_1=\{(x,y)|-1\le x\le 1，-2\le y\le 2\}；又I_2={\iint }_{D_2}(x^2+y^2{)}^{3}d\sigma ，& \\ & & \\ & 其中D_2=\{(x,y)|0\le x\le 1，0\le y\le 2\}，试利用二重积分的几何意义说明I_1与I_2之间的关系.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 根据二重积分的几何意义可知，I_1表示底为D_1，顶为曲面z=(x^2+y^2{)}^3的曲顶柱体{\Omega }_1的体积；& \\ & & \\ & I_2表示底为D_2，顶为曲面z=(x^2+y^2{)}^3的曲顶柱体{\Omega }_2的体积，由于位于D_1上方的曲面z=(x^2+y^2{)}^3关于yOz面& \\ & & \\ & 和zOx面均对称，所以yOz面和zOx面将{\Omega }_1分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分为{\Omega }_2，由此得I_1=4I_2.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 3.利用二重积分定义证明：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1){\iint }_{D}d\sigma =\sigma (其中\sigma 为D的面积)；& \\ & & \\ & (2){\iint }_{D}kf(x,y)d\sigma =k{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma (其中k为常数)；& \\ & & \\ & (3){\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma ，& \\ & & \\ & 其中D=D_1\cup D_2，D_1、D_2为两个无公共内点的闭区域.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)因为被积函数f(x,y)\equiv 1，由二重积分定义得{\iint }_{D}d\sigma =\underset{A\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\Delta {\sigma }_i=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sigma =\sigma .& \\ & & \\ & (2){\iint }_{D}kf(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}kf({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i=k\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i=k{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma .& \\ & & \\ & (3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积，所以不论如何分割D，积分和的极限不变，在分割D时，可以使D_1和D_2的& \\ & & \\ & 公共边界是一条分割线，因此f(x,y)在D_1\cup D_2上的积分和就等于D_1上的积分和加D_2上的积分和，记为& \\ & & \\ & \sum _{D_1\cup D_2}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i=\sum _{D_1}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i+\sum _{D_2}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i，令所有\Delta {\sigma }_i的直径的最大值\lambda \to 0，上式两端取极限，& \\ & & \\ & 得{\iint }_{D_1\cup D_2}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma .& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 4.试确定积分区域D，使二重积分{\iint }_D(1-2x^2-y^2)dxdy达到最大值.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 根据二重积分性质可知，当积分区域D包含了所有使被积函数1-2x^2-y^2大于等于零的点，而不包含使& \\ & & \\ & 被积函数1-2x^2-y^2小于零的点，即当D是椭圆2x^2+y^2=1所围成的平面闭区域时，二重积分的值最大.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1){\iint }_D(x+y{)}^{2}d\sigma 与{\iint }_D(x+y{)}^{3}d\sigma ，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所围成；& \\ & & \\ & (2){\iint }_D(x+y{)}^{2}d\sigma 与{\iint }_D(x+y{)}^{3}d\sigma ，其中积分区域D是由圆周(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=2所围成；& \\ & & \\ & (3){\iint }_{D}ln(x+y)d\sigma 与{\iint }_D[ln(x+y){]}^{2}d\sigma ，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；& \\ & & \\ & (4){\iint }_{D}ln(x+y)d\sigma 与{\iint }_D[ln(x+y){]}^{2}d\sigma ，其中D=\{(x,y)|3\le x\le 5，0\le y\le 1\}.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)在积分区域D上，0\le x+y\le 1，则有(x+y{)}^3\le (x+y{)}^2，根据二重积分的性质4，& \\ & & \\ & 得{\iint }_D(x+y{)}^{2}d\sigma \ge {\iint }_D(x+y{)}^{3}d\sigma & \\ & & \\ & (2)因为积分区域D位于半平面\{(x,y)|x+y\ge 1\}内，所以在D上有(x+y{)}^2\le (x+y{)}^3，& \\ & & \\ & 则{\iint }_D(x+y{)}^{2}d\sigma \le {\iint }_D(x+y{)}^{3}d\sigma & \\ & & \\ & (3)因为积分区域D位于条形区域\{(x,y)|1\le x+y\le 2\}内，所以区域D上的点满足0\le ln(x+y)\le 1，& \\ & & \\ & 有[ln(x+y){]}^2\le ln(x+y)，因此，{\iint }_{D}ln(x+y)d\sigma \ge {\iint }_D[ln(x+y){]}^{2}d\sigma & \\ & & \\ & (4)因为积分区域D位于半平面\{(x,y)|x+y\ge e\}内，所以在D上有ln(x+y)\ge 1，& \\ & & \\ & 则[ln(x+y){]}^2\ge ln(x+y)，因此，{\iint }_{D}ln(x+y)d\sigma \le {\iint }_D[ln(x+y){]}^{2}d\sigma & \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 6.利用二重积分的性质估计下列积分的值：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)I={\iint }_{D}xy(x+y)d\sigma ，其中D=\{(x,y)|0\le x\le 1，0\le y\le 1\}；& \\ & & \\ & (2)I={\iint }_{D}si{n}^{2}xsi{n}^{2}yd\sigma ，其中D=\{(x,y)|0\le x\le \pi ，0\le y\le \pi \}；& \\ & & \\ & (3)I={\iint }_D(x+y+1)d\sigma ，其中D=\{(x,y)|0\le x\le 1，0\le y\le 2\}；& \\ & & \\ & (4)I={\iint }_D(x^2+4y^2+9)d\sigma ，其中D=\{(x,y)|x^2+y^2\le 4\}.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)在积分区域D上，0\le x\le 1，0\le y\le 1，则0\le xy(x+y)\le 2，又因D的面积等于1，& \\ & & \\ & 因此，0\le {\iint }_{D}xy(x+y)d\sigma \le 2.& \\ & & \\ & (2)在积分区域D上，0\le sinx\le 1，0\le siny\le 1，则0\le si{n}^{2}xsi{n}^{2}y\le 1，又因D的面积等于{\pi }^2，& \\ & & \\ & 因此，0\le {\iint }_{D}si{n}^{2}xsi{n}^{2}yd\sigma \le {\pi }^2.& \\ & & \\ & (3)在积分区域D上有1\le x+y+1\le 4，又因D的面积等于2，因此，2\le {\iint }_D(x+y+1)d\sigma \le 8.& \\ & & \\ & (4)在积分区域D上有0\le x^2+y^2\le 4，则有9\le x^2+4y^2+9\le 4(x^2+y^2)+9\le 25，又因D的面积等于4\pi ，& \\ & & \\ & 因此，36\pi \le {\iint }_D(x^2+4y^2+9)d\sigma \le 100\pi .& \end{array}$