切比雪夫多项式

前言

切比雪夫是俄国超级有名的，土生土长的数学家，其比较出名的贡献有：切比雪夫多项式和切比雪夫大数定律。本文说切比雪夫多项式。
参考视频：切比雪夫多项式。

多项式函数

而且一般说某一个函数是多项式函数的时候，我们还会说其是多少次的，比如一次函数就是1次。

切比雪夫多项式

其表达式如下：

有人一脸懵逼，函数中有cos的东西，竟然最终会是x的多项式？这其实一点也不奇怪，为什么呢？个人觉得是因为x的定义域很古怪，从而这和三角函数会有千丝万缕的关系。你看下面的例子，$n=2,x=cos\theta$，不看中间那个，即左边等于右边，右边就是$2x^2-1$，左边就是$cos2arccosx$，妙吧。

现在，我们要证明，对于任意n，右边都会是$cos\theta$的多项式。

温馨提示，左边那个式子肯定是有实部和虚部的，我们要找到的就是会被$i^2=-1$抵消的那些实部，从而我们可以发现，左边实部=$cos\theta$的多项式=右边实部=$cosn\theta$。

我们继续证明一个小东西，即不但$cosn\theta$是$cos\theta$的n次多项式，而且系数是$2^{n-1}$。

这就证明完了。

性质

递推式

我们知道，当n取不同数的时候，得到不同次数的切比雪夫多项式。但是由于三角函数性质贼多，所以相邻的3个切比雪夫多项式存在如下关系：

完整证明如下，归根到底是三角函数的性质多