【学习笔记】深度学习入门：基于Python的理论与实现

七、卷积神经网络

7.1 整体结构

卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）被用于图像识别、语音识别等各种场合，在图像识别的比赛中，基于
深度学习的方法几乎都以CNN为基础。

之前介绍的神经网络中，相邻层的所有神经元之间都有连接，这称为全连接（fully-connected）。另外，我们用Affine层实现了全连接层。如果使用这个Affine层，一个5层的全连接的神经网络就可以通过下图所示的网络结构来实现：

那么，CNN会是什么样的结构呢？下图是CNN的一个例子：

CNN中新增了Convolution层和Pooling层。CNN的层的连接顺序是Convolution-ReLU-(Pooling)（Pooling层有时会被省略）。

7.2 卷积层

之前介绍的全连接的神经网络中使用了全连接层（Affine层）。在全连接层中，相邻层的神经元全部连接在一起，输出的数量可以任意决定。

全连接层存在什么问题呢？那就是数据的形状被“忽视”了。比如，输入数据是图像时，图像通常是高、长、通道方向上的3维形状。但是，向全连接层输入时，需要将3维数据拉平为1维数据。实际上，前面提到的使用了MNIST数据集的例子中，输入图像就是1通道、高28像素、长28像素的（1, 28, 28）形状，但却被排成1列，以784个数据的形式输入到最开始的Affine层。

图像是3维形状，这个形状中应该含有重要的空间信息。比如，空间上邻近的像素为相似的值、RBG的各个通道之间分别有密切的关联性、相距较远的像素之间没有什么关联等，3维形状中可能隐藏有值得提取的本质模式。但是，因为全连接层会忽视形状，将全部的输入数据作为相同的神经元（同一维度的神经元）处理，所以无法利用与形状相关的信息。

而卷积层可以保持形状不变。当输入数据是图像时，卷积层会以3维数据的形式接收输入数据，并同样以3维数据的形式输出至下一层。因此，在CNN中，可以（有可能）正确理解图像等具有形状的数据。

另外，CNN 中，有时将卷积层的输入输出数据称为特征图（feature map）。其中，卷积层的输入数据称为输入特征图（input feature map），输出数据称为输出特征图（output feature map）。

（1）卷积运算

卷积层进行的处理就是卷积运算。卷积运算相当于图像处理中的“滤波器运算”。在介绍卷积运算时，我们来看一个具体的例子（图中的*表示卷积运算）：

在这个例子中，输入数据是有高长方向的形状的数据，滤波器也一样，有高长方向上的维度。假设用(height, width)表示数据和滤波器的形状，则在本例中，输入大小是(4, 4)，滤波器大小是(3, 3)，输出大小是(2, 2)。另外，有的文献中也会用“核”这个词来表示这里所说的“滤波器”。

对于输入数据，卷积运算以一定间隔滑动滤波器的窗口并应用。如下图所示，将各个位置上滤波器的元素和输入的对应元素相乘，然后再求和（有时将这个计算称为乘积累加运算）。然后，将这个结果保存到输出的对应位置。将这个过程在所有位置都进行一遍，就可以得到卷积运算的输出：

在全连接的神经网络中，除了权重参数，还存在偏置。CNN中，滤波器的参数就对应之前的权重。并且，CNN中也存在偏置。包含偏置的卷积运算的处理流如下图所示：

（2）填充

在进行卷积层的处理之前，有时要向输入数据的周围填入固定的数据（比如0等），这称为填充（padding），是卷积运算中经常会用到的处理。比如，在下图的例子中，对大小为(4, 4)的输入数据应用了幅度为1的填充。“幅度为1的填充”是指用幅度为1像素的0填充周围：

通过填充，大小为(4, 4)的输入数据变成了(6, 6)的形状。然后，应用大小为(3, 3)的滤波器，生成了大小为(4, 4)的输出数据。这个例子中将填充设成了1，不过填充的值也可以设置成2、3等任意的整数。

使用填充主要是为了调整输出的大小。如果每次进行卷积运算都会缩小空间，那么在某个时刻输出大小就有可能变为1，导致无法再应用卷积运算。为了避免出现这样的情况，就要使用填充。

（3）步幅

应用滤波器的位置间隔称为步幅（stride）。之前的例子中步幅都是1，如果将步幅设为2，则如下图所示，应用滤波器的窗口的间隔变为2个元素：

因此增大步幅后，输出大小会变小。而增大填充后，输出大小会变大。如果将这样的关系写成算式，会如何呢？接下来，我们看一下对于填充和步幅，如何计算输出大小。

这里，假设输入大小为(H, W)，滤波器大小为(FH, FW)，输出大小为(OH, OW)，填充为P，步幅为S。此时，输出大小可通过下式进行计算：

之前的卷积运算的例子都是以有高、长方向的二维形状为对象的。但是，图像是3维数据，除了高、长方向之外，还需要处理通道方向。

这里以3通道的数据为例，下图展示了卷积运算的结果：

需要注意的是，在三维数据的卷积运算中，输入数据和滤波器的通道数要设为相同的值，即滤波器的通道数也为3。滤波器大小可以设定为任意值（不过，每个通道的滤波器大小要全部相同）。

将数据和滤波器结合长方体的方块来考虑，把三维数据表示为多维数组时，书写顺序为(channel, height, width)。比如，通道数为C、高度为H、长度为W的数据的形状可以写成(C, H, W)。滤波器也一样，比如，通道数为C、滤波器高度为FH（Filter
Height）、长度为FW（Filter Width）时，可以写成(C, FH, FW)：

在这个例子中，数据输出是1张特征图。所谓1张特征图，换句话说，就是通道数为1的特征图。那么，如果要在通道方向上也拥有多个卷积运算的输出，该怎么做呢？为此，就需要用到多个滤波器（权重）。用图表示的话如下：

因此关于卷积运算的滤波器，也必须考虑滤波器的数量。作为4维数据，滤波器的权重数据要按(output_channel, input_channel, height, width)的顺序书写。比如，通道数为3、大小为5×5的滤波器有20个时，可以写成(20, 3, 5, 5)。

卷积运算中（和全连接层一样）存在偏置。如果进一步追加偏置的加法运算处理，则结果如下图所示：

神经网络的处理中进行了将输入数据打包的批处理。我们希望卷积运算也同样对应批处理。为此，需要将在各层间传递的数
据保存为4维数据。具体地讲，就是按(batch_num, channel, height, width)的顺序保存数据，如下图所示：

在上图的批处理版的数据流中，在各个数据的开头添加了批用的维度。像这样，数据作为4维的形状在各层间传递。这里需要注意的是，网络间传递的是4维数据，对这N个数据进行了卷积运算。也就是说，批处理将N次的处理汇总成了1次进行。

7.3 池化层

池化是缩小高、长方向上的空间的运算。比如，如下图所示，进行将2×2的区域集约成1个元素的处理，缩小空间大小：

上图的例子是按步幅2进行2×2的Max池化时的处理顺序。“Max池化”是获取最大值的运算。一般来说，池化的窗口大小会和步幅设定成相同的值。除了Max池化之外，还有Min、Average池化等。

池化层有以下特征：

• 没有要学习的参数：池化层和卷积层不同，没有要学习的参数。池化只是从目标区域中取最大值（或者平均值），所以不存在要学习的参数。
• 通道数不发生变化：经过池化运算，输入数据和输出数据的通道数不会发生变化。
• 对微小的位置变化具有鲁棒性（健壮）：输入数据发生微小偏差时，池化仍会返回相同的结果，如下图所示：
  

7.4 卷积层和池化层的实现

如果老老实实地实现卷积运算，估计要重复好几层的for语句，这样的实现有点麻烦。这里，我们不使用for语句，而是使用im2col这个便利的函数进行简单的实现。

im2col是一个函数，将输入数据展开以适合滤波器（权重）。如下图所示，对3维的输入数据应用im2col后，数据转换为2维矩阵（正确地讲，是把包含批数量的4维数据转换成了2维数据）。

im2col会把输入数据展开以适合滤波器（权重）。具体地说，如下图所示，对于输入数据，将应用滤波器的区域（3维方块）横向展开为1列。im2col会在所有应用滤波器的地方进行这个展开处理。

使用im2col展开输入数据后，之后就只需将卷积层的滤波器（权重）纵向展开为1列，并计算2个矩阵的乘积即可，如下图所示：

本文提供了im2col函数，并将这个im2col函数作为黑盒（不关心内部实现）使用，想了解的可以阅读该函数的代码：

def im2col(input_data, filter_h, filter_w, stride=1, pad=0):
    """
    Parameters
    ----------
    input_data : 由(数据量, 通道, 高, 长)的4维数组构成的输入数据
    filter_h : 滤波器的高
    filter_w : 滤波器的长
    stride : 步幅
    pad : 填充

    Returns
    -------
    col : 2维数组
    """
    N, C, H, W = input_data.shape
    out_h = (H + 2*pad - filter_h)//stride + 1
    out_w = (W + 2*pad - filter_w)//stride + 1

    img = np.pad(input_data, [(0,0), (0,0), (pad, pad), (pad, pad)], 'constant')
    col = np.zeros((N, C, filter_h, filter_w, out_h, out_w))

    for y in range(filter_h):
        y_max = y + stride*out_h
        for x in range(filter_w):
            x_max = x + stride*out_w
            col[:, :, y, x, :, :] = img[:, :, y:y_max:stride, x:x_max:stride]

    col = col.transpose(0, 4, 5, 1, 2, 3).reshape(N*out_h*out_w, -1)
    return col
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现在使用im2col来实现卷积层。这里我们将卷积层实现为名为Convolution的类：

class Convolution:
    def __init__(self, W, b, stride=1, pad=0):
        self.W = W
        self.b = b
        self.stride = stride
        self.pad = pad
        
        # 中间数据（backward时使用）
        self.x = None   
        self.col = None
        self.col_W = None
        
        # 权重和偏置参数的梯度
        self.dW = None
        self.db = None

    def forward(self, x):
        FN, C, FH, FW = self.W.shape
        N, C, H, W = x.shape
        out_h = 1 + int((H + 2*self.pad - FH) / self.stride)
        out_w = 1 + int((W + 2*self.pad - FW) / self.stride)

        col = im2col(x, FH, FW, self.stride, self.pad)
        col_W = self.W.reshape(FN, -1).T

        out = np.dot(col, col_W) + self.b
        out = out.reshape(N, out_h, out_w, -1).transpose(0, 3, 1, 2)

        self.x = x
        self.col = col
        self.col_W = col_W

        return out

    def backward(self, dout):
        FN, C, FH, FW = self.W.shape
        dout = dout.transpose(0,2,3,1).reshape(-1, FN)

        self.db = np.sum(dout, axis=0)
        self.dW = np.dot(self.col.T, dout)
        self.dW = self.dW.transpose(1, 0).reshape(FN, C, FH, FW)

        dcol = np.dot(dout, self.col_W.T)
        dx = col2im(dcol, self.x.shape, FH, FW, self.stride, self.pad)

        return dx
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我们先来看前向传播，卷积层的初始化方法将滤波器（权重）、偏置、步幅、填充作为参数接收。滤波器是(FN, C, FH, FW)的4维形状。

用im2col展开输入数据，并用reshape将滤波器展开为2维数组。然后，计算展开后的矩阵的乘积。

展开滤波器的部分是将各个滤波器的方块纵向展开为1列。这里通过reshape(FN,-1)将参数指定为-1，这是reshape的一个便利的功能。通过在reshape时指定为-1，reshape函数会自动计算-1维度上的元素个数，以使多维数组的元素个数前后一致。比如，(10, 3, 5, 5)形状的数组的元素个数共有750个，指定reshape(10,-1)后，就会转换成(10, 75)形状的数组。

forward的实现中，最后会将输出大小转换为合适的形状。转换时使用了NumPy的transpose函数。transpose会更改多维数组的轴的顺序。如下图所示，通过指定从0开始的索引（编号）序列，就可以更改轴的顺序：

以上就是卷积层的forward处理的实现。通过使用im2col进行展开，基本上可以像实现全连接层的Affine层一样来实现。反向传播的实现和Affine层的实现有很多共通的地方，所以就不再介绍了。但有一点需要注意，在进行卷积层的反向传播时，必须进行im2col的逆处理，可以使用col2im函数如下：

def col2im(col, input_shape, filter_h, filter_w, stride=1, pad=0):
    """
    Parameters
    ----------
    col :
    input_shape : 输入数据的形状（例：(10, 1, 28, 28)）
    filter_h :
    filter_w
    stride
    pad

    Returns
    -------
    """
    N, C, H, W = input_shape
    out_h = (H + 2*pad - filter_h)//stride + 1
    out_w = (W + 2*pad - filter_w)//stride + 1
    col = col.reshape(N, out_h, out_w, C, filter_h, filter_w).transpose(0, 3, 4, 5, 1, 2)

    img = np.zeros((N, C, H + 2*pad + stride - 1, W + 2*pad + stride - 1))
    for y in range(filter_h):
        y_max = y + stride*out_h
        for x in range(filter_w):
            x_max = x + stride*out_w
            img[:, :, y:y_max:stride, x:x_max:stride] += col[:, :, y, x, :, :]

    return img[:, :, pad:H + pad, pad:W + pad]
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池化层的实现和卷积层相同，都使用im2col展开输入数据。不过，池化的情况下，在通道方向上是独立的，这一点和卷积层不同。具体地讲，如下图所示，池化的应用区域按通道单独展开：

像这样展开之后，只需对展开的矩阵求各行的最大值，并转换为合适的形状即可：

池化层的实现代码如下：

class Pooling:
    def __init__(self, pool_h, pool_w, stride=1, pad=0):
        self.pool_h = pool_h
        self.pool_w = pool_w
        self.stride = stride
        self.pad = pad
        
        self.x = None
        self.arg_max = None

    def forward(self, x):
        N, C, H, W = x.shape
        out_h = int(1 + (H - self.pool_h) / self.stride)
        out_w = int(1 + (W - self.pool_w) / self.stride)

        col = im2col(x, self.pool_h, self.pool_w, self.stride, self.pad)
        col = col.reshape(-1, self.pool_h*self.pool_w)

        arg_max = np.argmax(col, axis=1)
        out = np.max(col, axis=1)
        out = out.reshape(N, out_h, out_w, C).transpose(0, 3, 1, 2)

        self.x = x
        self.arg_max = arg_max

        return out

    def backward(self, dout):
        dout = dout.transpose(0, 2, 3, 1)
        
        pool_size = self.pool_h * self.pool_w
        dmax = np.zeros((dout.size, pool_size))
        dmax[np.arange(self.arg_max.size), self.arg_max.flatten()] = dout.flatten()
        dmax = dmax.reshape(dout.shape + (pool_size,)) 
        
        dcol = dmax.reshape(dmax.shape[0] * dmax.shape[1] * dmax.shape[2], -1)
        dx = col2im(dcol, self.x.shape, self.pool_h, self.pool_w, self.stride, self.pad)
        
        return dx
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7.5 CNN的实现

这里我们实现下图所示的CNN：

其代码如下：

class SimpleConvNet:
    """简单的ConvNet

    conv - relu - pool - affine - relu - affine - softmax
    
    Parameters
    ----------
    input_size : 输入大小（MNIST的情况下为784）
    hidden_size_list : 隐藏层的神经元数量的列表（e.g. [100, 100, 100]）
    output_size : 输出大小（MNIST的情况下为10）
    activation : 'relu' or 'sigmoid'
    weight_init_std : 指定权重的标准差（e.g. 0.01）
        指定'relu'或'he'的情况下设定“He的初始值”
        指定'sigmoid'或'xavier'的情况下设定“Xavier的初始值”
    """
    def __init__(self, input_dim=(1, 28, 28), 
                 conv_param={'filter_num':30, 'filter_size':5, 'pad':0, 'stride':1},
                 hidden_size=100, output_size=10, weight_init_std=0.01):
        filter_num = conv_param['filter_num']
        filter_size = conv_param['filter_size']
        filter_pad = conv_param['pad']
        filter_stride = conv_param['stride']
        input_size = input_dim[1]
        conv_output_size = (input_size - filter_size + 2*filter_pad) / filter_stride + 1
        pool_output_size = int(filter_num * (conv_output_size/2) * (conv_output_size/2))

        # 初始化权重
        self.params = {}
        self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(filter_num, input_dim[0], filter_size, filter_size)
        self.params['b1'] = np.zeros(filter_num)
        self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(pool_output_size, hidden_size)
        self.params['b2'] = np.zeros(hidden_size)
        self.params['W3'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)
        self.params['b3'] = np.zeros(output_size)

        # 生成层
        self.layers = OrderedDict()
        self.layers['Conv1'] = Convolution(self.params['W1'], self.params['b1'], conv_param['stride'], conv_param['pad'])
        self.layers['Relu1'] = Relu()
        self.layers['Pool1'] = Pooling(pool_h=2, pool_w=2, stride=2)
        self.layers['Affine1'] = Affine(self.params['W2'], self.params['b2'])
        self.layers['Relu2'] = Relu()
        self.layers['Affine2'] = Affine(self.params['W3'], self.params['b3'])

        self.last_layer = SoftmaxWithLoss()

    def predict(self, x):
        for layer in self.layers.values():
            x = layer.forward(x)

        return x

    def loss(self, x, t):
        """求损失函数
        参数x是输入数据、t是教师标签
        """
        y = self.predict(x)
        return self.last_layer.forward(y, t)

    def accuracy(self, x, t, batch_size=100):
        if t.ndim != 1 : t = np.argmax(t, axis=1)
        
        acc = 0.0
        
        for i in range(int(x.shape[0] / batch_size)):
            tx = x[i*batch_size:(i+1)*batch_size]
            tt = t[i*batch_size:(i+1)*batch_size]
            y = self.predict(tx)
            y = np.argmax(y, axis=1)
            acc += np.sum(y == tt) 
        
        return acc / x.shape[0]

    def numerical_gradient(self, x, t):
        """求梯度（数值微分）

        Parameters
        ----------
        x : 输入数据
        t : 教师标签

        Returns
        -------
        具有各层的梯度的字典变量
            grads['W1']、grads['W2']、...是各层的权重
            grads['b1']、grads['b2']、...是各层的偏置
        """
        loss_w = lambda w: self.loss(x, t)

        grads = {}
        for idx in (1, 2, 3):
            grads['W' + str(idx)] = numerical_gradient(loss_w, self.params['W' + str(idx)])
            grads['b' + str(idx)] = numerical_gradient(loss_w, self.params['b' + str(idx)])

        return grads

    def gradient(self, x, t):
        """求梯度（误差反向传播法）

        Parameters
        ----------
        x : 输入数据
        t : 教师标签

        Returns
        -------
        具有各层的梯度的字典变量
            grads['W1']、grads['W2']、...是各层的权重
            grads['b1']、grads['b2']、...是各层的偏置
        """
        # forward
        self.loss(x, t)

        # backward
        dout = 1
        dout = self.last_layer.backward(dout)

        layers = list(self.layers.values())
        layers.reverse()
        for layer in layers:
            dout = layer.backward(dout)

        # 设定
        grads = {}
        grads['W1'], grads['b1'] = self.layers['Conv1'].dW, self.layers['Conv1'].db
        grads['W2'], grads['b2'] = self.layers['Affine1'].dW, self.layers['Affine1'].db
        grads['W3'], grads['b3'] = self.layers['Affine2'].dW, self.layers['Affine2'].db

        return grads
        
    def save_params(self, file_name="params.pkl"):
        params = {}
        for key, val in self.params.items():
            params[key] = val
        with open(file_name, 'wb') as f:
            pickle.dump(params, f)

    def load_params(self, file_name="params.pkl"):
        with open(file_name, 'rb') as f:
            params = pickle.load(f)
        for key, val in params.items():
            self.params[key] = val

        for i, key in enumerate(['Conv1', 'Affine1', 'Affine2']):
            self.layers[key].W = self.params['W' + str(i+1)]
            self.layers[key].b = self.params['b' + str(i+1)]
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这里，卷积层的超参数通过名为conv_param的字典传入。我们设想它会像{'filter_num':30,'filter_size':5, 'pad':0, 'stride':1}这样，保存必要的超参数值。

将由初始化参数传入的卷积层的超参数从字典中取了出来（以方便后面使用），然后，计算卷积层的输出大小。

学习所需的参数是第1层的卷积层和剩余两个全连接层的权重和偏置。将这些参数保存在实例变量的params字典中。将第1层的卷积层的权重设为关键字W1，偏置设为关键字b1。同样，分别用关键字W2、b2和关键字W3、b3来保存第2个和第3个全连接层的权重和偏置。

最后，生成必要的层，从最前面开始按顺序向有序字典（OrderedDict）的layers中添加层。只有最后的SoftmaxWithLoss层被添加到别的变量lastLayer中。

7.6 CNN的可视化

对MNIST数据集进行了简单的CNN学习，然后将卷积层（第1层）的滤波器显示为图像，结果如下图所示：

学习前的滤波器是随机进行初始化的，所以在黑白的浓淡上没有规律可循，但学习后的滤波器变成了有规律的图像。我们发现，通过学习，滤波器被更新成了有规律的滤波器，比如从白到黑渐变的滤波器、含有块状区域（称为blob）的滤波器等。

如果要问上图中右边的有规律的滤波器在“观察”什么，答案就是它在观察边缘（颜色变化的分界线）和斑块（局部的块状区域）等。比如，左半部分为白色、右半部分为黑色的滤波器的情况下，如下图所示，会对垂直方向上的边缘有响应：

由此可知，卷积层的滤波器会提取边缘或斑块等原始信息。而刚才实现的CNN会将这些原始信息传递给后面的层。

第1层的卷积层中提取了边缘或斑块等“低级”信息，那么在堆叠了多层的CNN中，各层中又会提取什么样的信息呢？根据深度学习的可视化相关的研究，随着层次加深，提取的信息（正确地讲，是反映强烈的神经元）也越来越抽象。

下图展示了进行一般物体识别（车或狗等）的8层CNN名为AlexNet，该网络结构堆叠了多层卷积层和池化层，最后经过全连接层输出结果：

如果堆叠了多层卷积层，则随着层次加深，提取的信息也愈加复杂、抽象，这是深度学习中很有意思的一个地方。最开始的层对简单的边缘有响应，接下来的层对纹理有响应，再后面的层对更加复杂的物体部件有响应。也就是说，随着层次加深，神经元从简单的形状向“高级”信息变化。换句话说，就像我们理解东西的“含义”一样，响应的对象在逐渐变化。