代数结构与有限域之 群

代数学与有限域的知识点整理

小垃圾的代数挣扎史，真的好难好难啊

群

群是一种只含有单个运算的代数结构，运算法则与数的运算法则一致。

定义

对于一个非空集合G上的二元运算 o 来说是一个群，如果满足：

1. o满足结合律，即满足$a,b,c\in G,ao(boc)=(aob)oc$
2. G中存在单位元e,满足任意a属于G，a o e=e o a =a。有时我们也把单位元e写成1或者$1_G$
3. G中存在逆元，对于任意a属于G，存在元素$a^{-1}\in G$满足$ao{a}^{-1}=a^{-1}oa=e$，称$a^{-1}\in G$为元素a的逆。
4. 如果G中元素还满足任意a,b属于G($aob=boa$,则G称为交换群或者Abel（阿贝尔）群。这时也把o表示成+，同时把单位元e写成0，因此交换群也称为加法群。

群的阶

定义1：一个群称为有限群，如果G中含有有限个元素，有限群中元素的个数称为G的阶，用|G|表示。
定义2：设G是群，a是G中一个元素，如果存在正整数m使得$a^m=1$，我们称a是有限阶的元素，而把最小满足$a^m=1$的正整数m叫做元素a的阶，用$o(a)$或者|a|表示，否则称为a是无限阶的元素。
定义3：设a是群G中的一个有限阶元素，o(a)=m，则对任意的正整数n，$a^n=1$当且仅当m|n (n是m的倍数)
证明：G是n阶有限群，则对于任意a∈G，有$a^n=e$
显然$H=(a^m:m\in Z)$为G的Abel子群，依Lagrange定理可知有$a^n={a^{|H|}}^{G:H}$,因此只需要证明$a^{|H|}=e$。设$a_1，a_2,...,a_k$是H的不同元素，则$a{a}_1，a{a}_2,...,a{a}_k$两两不同，从而他也是H的所有元素，而H也是一个Abel群，故$e{a}_1{a}_2...a_k=a_1{a}_2...a_k={\prod }_{h\in H}^{}h=a{a}_{1}a{a}_2...a{a}_k=a^k{a}_1{a}_2...a_k$等价于$e=a^k=a^{|H|}$等证。
Lagrange定理：设|H|为有限群G的子群，则|H|整除|G|，而且[G:H]=|G|/|H|;
$G=a_{1}H\cup a_{2}H....\cup a_{k}H$这里$a_{1}H,...,a_{2}H,...,\cup a_{k}H$两两不同，从而两两不想交，有因为$|a_{i}H|=|H|$，因此|G|=k|H|

接下来将介绍剩余类群与陪集

未完待续。。。。。