基变换与坐标变换

定义 1（基变换公式、过渡矩阵）　设 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 及 ${\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 是线性空间 $V_n$ 中的两个基，
{ β 1 = p 11 α 1 + p 21 α 2 + ⋯ + p n 1 α n β 2 = p 12 α 1 + p 22 α 2 + ⋯ + p n 2 α n ⋯ β n = p 1 n α 1 + p 2 n α 2 + ⋯ + p n n α n (1) \left\{

\right. \tag{1} ⎩ ⎨ ⎧​​β1​=p11​α1​+p21​α2​+⋯+pn1​αn​β2​=p12​α1​+p22​α2​+⋯+pn2​αn​⋯βn​=p1n​α1​+p2n​α2​+⋯+pnn​αn​​(1)
把 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 这 $n$ 个有序向量记作 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)$，记 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{P}=(p_{ij})$，利用向量和矩阵的形式，$(1)$ 式可表示为
$$({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{P}\text{\hspace{1em}(2)}$$
$(1)$ 式或 $(2)$ 式称为 基变换公式，矩阵 $\mathbf{P}$ 称为由基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 的过渡矩阵。

由于 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 线性无关，故过渡矩阵 $\mathbf{P}$ 可逆。

定理 2　设 $V_n$ 中的向量 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 中的坐标为 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$，在基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 中的坐标为 $(x_1^{\prime },x_2^{\prime },\cdots ,x_n^{\prime }{)}^T$。若两个基满足关系式 $(2)$，则有 坐标变换公式
( x 1 x 2 ⋮ x n ) = P ( x 1 ′ x 2 ′ ⋮ x n ′ ) 或 ( x 1 ′ x 2 ′ ⋮ x n ′ ) = P − 1 ( x 1 x 2 ⋮ x n ) (3)

= \boldsymbol{P} \hspace{1em} 或 \hspace{1em} = \boldsymbol{P}^{-1} \tag{3} ​x1​x2​⋮xn​​ ​=P ​x1′​x2′​⋮xn′​​ ​或 ​x1′​x2′​⋮xn′​​ ​=P−1 ​x1​x2​⋮xn​​ ​(3)

证明　因为向量 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 中的坐标为 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$，在基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 中的坐标为 $(x_1^{\prime },x_2^{\prime },\cdots ,x_n^{\prime }{)}^T$，所以有
( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = α = ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) ( x 1 ′ x 2 ′ ⋮ x n ′ ) (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)

(x1x2⋮xn)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

= \boldsymbol{\alpha} = (\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n)

(x1′x2′⋮xn′)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜x′1x′2⋮x′n⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)$$

(α1​,α2​,⋯,αn​) ​x1​x2​⋮xn​​ ​=α=(β1​,β2​,⋯,βn​) ​x1′​x2′​⋮xn′​​ ​
又因为两个基满足关系式 $(2)$，所以将 $(2)$ 代入有
( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) P ( x 1 ′ x 2 ′ ⋮ x n ′ ) (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)

(x1x2⋮xn)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

= (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{P}

(x1′x2′⋮xn′)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜x′1x′2⋮x′n⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)$$

(α1​,α2​,⋯,αn​) ​x1​x2​⋮xn​​ ​=(α1​,α2​,⋯,αn​)P ​x1′​x2′​⋮xn′​​ ​
因为 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 是 $V_n$ 中的一个基，所以线性向量组线性无关，故有关系式 $(3)$。得证。

显然，这个定理的逆命题也成立，即若任一向量的两种坐标满足坐标交换公式 $(3)$，则两个基满足变换公式 $(2)$。