PT_常见的连续型分布/均匀分布/指数分布/柯西分布/正态分布

PT@一维连续型分布#均匀分布#指数分布#柯西分布#正态分布及其标准化

• 从概率密度函数很分布函数的角度描述
  • 这一点和离散型随机变量的分布用分布律描述有所区别

均匀分布🎈

• Uniformly Distribution

• $$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a⩽x⩽b\\ 0,& else\end{array} \\ F(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>b\\ \frac{1}{b-a}(x-a),& a⩽x⩽b\\ 0,& x<a\end{array} \end{gathered}$$

  • $X服从区间[a,b]上的均匀分布$
    • $记为X\sim U(a,b)$

性质

• 等可能性:
  • 对于任意一个区间$[c,c+l]\subset [a,b]$
    • $P(c⩽X⩽c+l)={\int }_c^{c+l}f(x)dx=\frac{1}{b-a}(x-a){|}_c^{c+l}=\frac{l}{b-a}$
    • 发现,这是一个和区间长度有关,而与区间的起点和终点无关(只要区间位是[a,b]的子区间)
  • 或者说:
    • 设$X\sim U[a,b],则对a⩽c<d⩽b$
    • $P(c<X⩽d)=\frac{d-c}{b-a}$
    • 随机变量落入区间[c,d]的概率等于该区间长度与[a,b]的长度之比

例

• 已知X服从[0,5]上的均匀分布

  • $即X\sim U(0,5)$

    • 如果待求区间概率有落在[0,5]之外的部分,那么这些区间的概率为0
    • 实际计算中,只要把被求区间和[0,5]取交,非空的部分分别相加,其余按0计

  • $计算P(X⩽-1\cup X⩾2)=P(X⩽-1)+P(X⩾2)$

    • $其中,和[0,5]的交集非空的部分是[2,5]$

    • $$\begin{gathered} P(X⩽-1\cup X⩾2)=P(2⩽X⩽5) \\ =\frac{1}{5-0}((5-0)-(2-0))=\frac{3}{5} \end{gathered}$$

指数分布

• $$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x⩾0\\ 0,& x<0\end{array} \\ \lambda >0 \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx={\int }_0^x\lambda e^{-\lambda x}dx=\lambda {\int }_0^x(e^{-\lambda }{)}^{x}dx={\lambda e^{-\lambda x}(\ln e^{-\lambda }{)}^{-1}|}_0^x \\ ={\lambda e^{-\lambda x}\frac{1}{-\lambda }|}_0^x={-e^{-\lambda x}|}_0^x=-(e^{-\lambda x}-1)=1-e^{-\lambda x} \end{gathered}$$

  • $$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x⩾0\\ 0,& x<0\end{array}(\lambda >0)$$

• X服从参数为$\lambda$的指数分布

  • $记为X\sim E(\lambda )$

性质

无记忆性

• 和离散型分布中的几何分布类似的性质,即无记忆性

  • 指数分布是连续型分布中唯一具有无记忆性特点

• 推导:

  • 如果$X\sim E(\lambda )$

  • 对于任意$t>0,s>0$

    • $$\begin{gathered} P(X>t)={\int }_t^{+\infty }\lambda e^{-\lambda t}dt=e^{-\lambda t},t>0 \\ P(X>t)=1-P(x⩽t)=1-P(x<t)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t} \end{gathered}$$

    • {   X > t + s   } ⊂ {   X > s   } , 所以 P ( X > t + s ∣ X > s ) = P ( {   X > t + s   } ∪ {   X > s   } ) P ( X > s ) = P ( X > s + t ) P ( X > s ) = 1 − P ( X ⩽ s + t ) 1 − P ( X ⩽ s ) = F ( x ) = P ( X ⩽ x ) = 1 − ( 1 − e − λ ( s + t ) ) 1 − ( 1 − e − λ s ) = e − λ ( s + t ) e − λ s = e − λ t \set{X>t+s}\sub\set{X>s},所以 \\ P(X>t+s|X>s)= \frac{P(\set{X>t+s}\cup \set{X>s})}{P(X>s)} =\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)} \\=\frac{1-P(X\leqslant s+t)}{1-P(X\leqslant s)} \\\xlongequal{F(x)=P(X\leqslant x)} =\frac{1-(1-e^{-\lambda (s+t)})}{1-(1-e^{-\lambda s})} =\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}} =e^{-\lambda t} {X>t+s}⊂{X>s},所以P(X>t+s∣X>s)=P(X>s)P({X>t+s}∪{X>s})​=P(X>s)P(X>s+t)​=1−P(X⩽s)1−P(X⩽s+t)​F(x)=P(X⩽x) =1−(1−e−λs)1−(1−e−λ(s+t))​=e−λse−λ(s+t)​=e−λt

    • 如果某个元件的使用寿命服X服从指数分布:

      • 那么该元件已经工作s小时的条件下,还能够再继续工作(剩余)t个小时的概率于s无关
      • 但是实际情况元件的剩余寿命往往是和已工作的s小时是有关系的

ref

例

• $N(t)\sim P(\lambda t)$

  • $t表示时间段长度$
  • $N(t)表示长度为t时间段内发生故障的次数,它满足Possion分布P(\lambda t)$
    • $P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t{)}^k{e}^{-(\lambda t)}}{k!}$
      • $k=0时,P(N(t)=0)=e^{-(\lambda t)}$
  • $T表示相继2次故障之间的时间间隔$

• 分析:

  • $时间段t内出现的故障次数N(t)如果是0次,那么可以说明,故障间隔T一定超过t(T>t)$

• 讨论:

  • 求:随机变量T的分布函数F

    • $本例中使用分布函数的定义:F(x)=P(X⩽x)$的方式来求
    • $本例中,分布函数F的自变量为时间段长度t$
    • $时间轴t轴就相当于x轴$
    • 随机变量T的取值落在t轴的哪个地方

  • 一般的,分布函数的定义域为($-\infty ,+\infty$)

    • 即使我们知道随机变量T只可能落在>0的正区间上,也需要分别讨论一下

  • $考虑t⩽0$:

    • $由于t时间长度(⩾0),所以t⩽0的区间内,$
      • 事件 {   T ⩽ t   } 是不可能发生的 事件\set{T\leqslant t}是不可能发生的 事件{T⩽t}是不可能发生的
    • $F(t)=P(T⩽t)=0$

  • $t⩾0$

    • $F(t)=P(T⩽t)=1-P(T>t)=1-P(N(t)=0)=1-e^{-\lambda t}$

    • $$F(t)⩽\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda t},& t⩾0\\ 0,& t<0\end{array}$$

柯西分布

• $$\begin{gathered} f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}(-\infty <x<+\infty ) \\ F(x)=\frac{1}{\pi }\arctan x+\frac{1}{2} \end{gathered}$$

• 用的较少

正态分布

正态密度函数

• $$\begin{gathered} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }{e}^{-\frac{(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}} \\ (-\infty <x<+\infty ) \end{gathered}$$

密度函数图像特点

• $f(x)关于x=u对称$
  • $f(x)在x=u处有最大值f(u)=(\sqrt{2\pi }\sigma {)}^{-1}$
  • 从密度函数的形式上也可以看出来$f(x)$关于x=u对称
    • $f(x)=f(2u-x)总是成立的,因此f(x)关于x=u对称$
      • $Note:x_1+x_2=2u;f(x_1)=f(x_2)$
• $f(x)在x=u\pm \sigma 处有拐点$
  • Note:曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在
• $x\to \infty 时,以x轴为渐近线$

正态分布决定性参数@均值@方差

• 如果固定$\sigma$不变
  • 改变$\mu$,则图形沿着x轴平行移动
  • 形状不变
  • $\mu$是正态分布密度函数的位置参数,位置是有$\mu$决定的
• 如果固定$\mu$不变,
  • $改变\sigma ,当\sigma 变小的时候,图形越尖$
  • 否则越扁平
    • $因为最大值f(u)=(\sqrt{2\pi }\sigma {)}^{-1}$
  • $\sigma 正态分布密度函数的$尺度参数

$$\begin{gathered} 这个密度函数(钟型曲线)不易直接积分,直接用积分表达式 \\ F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-u{)}^2}{2{\sigma }^2}}dt \end{gathered}$$

🎈标准正态分布

• $当\mu =0,{\sigma }^2=1时,$的正态分布为标准正态分布

• 这时候,密度函数和分布函数可以具体为

  • $$\begin{gathered} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}} \\ 取标准型参数u=0,{\sigma }^2=1 \\ \varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-x^2}{2}} \\ \Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t{)}^2}{2}}dt \end{gathered}$$

$3\sigma 原则$

• 对于标准正态分布$\mu \sim N(0,1)$

  • $\Phi (-\mu )=1-\Phi (\mu )$

    • 或者$\Phi (\mu )=1-\Phi (-\mu )$
      • $\Phi (\mu )+\Phi (-\mu )=1$
    • $P(\mu >\mu )=1-P(\mu ⩽\mu )=1-\Phi (\mu )$
    • $P(a<\mu ⩽b)=\Phi (b)-\Phi (a)$
    • $P(|\mu |<c)=P(-c<\mu <c)=\Phi (c)-\Phi (-c)=\Phi (c)-(1-\Phi (c))=2\Phi (c)-1$

  • $$\begin{gathered} P(|X-\mu |<\sigma )=\Phi (1)-\Phi (-1)\approx 0.6826 \\ P(|X-\mu |<2\sigma )=\Phi (2)-\Phi (-2)\approx 0.9544 \\ P(|X-\mu |<3\sigma )=\Phi (3)-\Phi (-3)\approx 0.9973 \\ 表示对于正态分布密度函数两侧距离对称轴x=\mu 不超过 \\ k\sigma (k=1,2,3)的面积(也即是概率) \\ 可以看出,如果X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),则|X-\mu |⩽3\sigma 的概率相当高 \end{gathered}$$

一般正态分布标准化

• 一般正态分布:参数为$(\mu ,{\sigma }^2)$的正态分布

• 标准正态分布:$\mu =0,{\sigma }^2=1$的正态分布

• $$\begin{gathered} F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt \\ 积分区域:t\in (-\infty ,x] \\ 令u=u(t)=\frac{t-\mu }{\sigma }; \\ t=u\sigma +\mu ; \\ dt=d(u\sigma +\mu )=\sigma du \\ t-\mu \in (-\infty ,x-u] \\ u=\frac{t-\mu }{\sigma }\in (-\infty ,\frac{x-\mu }{\sigma }]即为换元后的积分区间 \\ F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }{\int }_{-\infty }^{\frac{x-\mu }{\sigma }}{e}^{-\frac{u^2}{2}}\sigma du \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\frac{x-\mu }{\sigma }}{e}^{-\frac{1}{2}{u}^2}du \\ =\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma }) \\ 其中,函数\Phi 是标准正态分布函数 \\ F(x)=\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma }) \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} F(x)=P(X⩽x)=\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma }) \\ P(a<X⩽b)=F(b)-F(a)=\Phi (\frac{b-\mu }{\sigma })-\Phi (\frac{a-\mu }{\sigma }) \end{gathered}$$

  • 因此,正态分布都可以用这个一般化的公式(将一般型标准化)计算概率

例

• 如果已知$Y=\frac{X-a}{b}\sim N(0,1)$

  • 其中${\mu }_Y=0,{\sigma }_Y^2=1$

• 则$X=bY+a$

  • ${\mu }_X=b{\sigma }_Y+a=a;{\sigma }_X=b^2{\sigma }_Y^2=b^2$
  • 即$X\sim N(a,b^2)$

一维正态分布性质

• 若$X\sim N(0,1)$,则X的密度函数$\varphi (x)$,满足$\varphi (-x)=\varphi (x)$,是偶函数

• 当$\mu =0(X\sim N(0,\sigma ))$

  • $F(a)+F(-a)=1;F(0)=\frac{1}{2}$

  • $$\begin{gathered} 特别地: \\ \Phi (x)+\Phi (-x)=1;\Phi (0)=\frac{1}{2} \\ \Phi (x)标准正态分布函数 \end{gathered}$$

• 当$X\sim N(0,1),P(|X|⩽a)=P(-a⩽X⩽a)=2\Phi (a)-1$,(a>0)

  • $$\begin{gathered} P(|X|⩽a)={\int }_{-a}^a\varphi (x)dx \\ \left(={\int }_{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)dx-{\int }_{-\infty }^{-a}\varphi (x)dx-{\int }_a^{+\infty }\varphi (x)dx\right) \\ ={\int }_{-\infty }^a\varphi (x)dx-{\int }_{-\infty }^{-a}\varphi (x)dx \\ =\Phi (a)-\Phi (-a)=\Phi (a)-(1-\Phi (a))=2\Phi (a)-1 \end{gathered}$$

  • 一般正态分布标准化的结论

    • $X\sim (\mu ,{\sigma }^2)$,则根据分布函数的定义,计算积分得到

    • $$\begin{gathered} F(x)=P(X⩽x)=\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma }) \\ P(a<X⩽b)=F(b)-F(a)=\Phi (\frac{b-\mu }{\sigma })-\Phi (\frac{a-\mu }{\sigma }) \end{gathered}$$

      • $X\sim (\mu ,{\sigma }^2)$,X的分布函数为$F(x)=P(X⩽x)$

      • 令$Y=\frac{X-\mu }{\sigma },则Y\sim (0,1)$

        • $X=\sigma Y+\mu$

      • $$\begin{gathered} \Phi (y)=P(Y⩽y)=P(\frac{X-\mu }{\sigma }⩽y) \\ =P(X⩽y\sigma +\mu )=F(y\sigma +\mu ) \\ 令x=y\sigma +\mu \\ F(x)=\Phi (y)=\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma }) \end{gathered}$$

      • 另一种推到方法

      • $$\begin{gathered} F(x)=P(X⩽x)=P(\frac{X-\mu }{\sigma }⩽\frac{x-\mu }{\sigma }) \\ 其中Y=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim (0,1) \\ y=\frac{x-\mu }{\sigma } \\ F(x)=P(X⩽x)=P(Y⩽y)=\Phi (y) \\ F(x)=\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma }) \end{gathered}$$