并查集及相关变形

1.要解决的问题

一共有 n 个数，编号是 1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 m 个操作，操作共有两种：

M a b，将编号为 a 和 b 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
Q a b，询问编号为 a 和 b 的两个数是否在同一个集合中；

2.并查集

2.1支持的操作

• 将两个集合合并
• 询问两个数是否在同一个集合中

2.2解决问题的方法

将各个集合构建成一个树，树的每一个节点是在同一个集合中的数。树的编号是根节点的编号。
为此，需要为每一个节点 i 存放其父节点 p[i]。

2.3要思考的问题

• 如何判断树根
  根节点的特征是其父节点是其本身

if(p[x] == x) x就是根节点
1

• 如何求数x所在集合的编号

while(x != p[x]) x = p[x];
1

只要x不是根节点，x就一直往上走，知道x是树根。树根的编号就是集合的编号

• 如何将两个数所在集合合并
  p[x]是x的集合编号，p[y]是y的集合编号

p[x] == y
1

• 询问两个节点是否在一个集合中：

if(p[i] == p[j]) Yes
else No
1
2

2.4 优化

当树的深度很大时，每次判断x所在集合的编号都要走很多层。为此，采用“路径压缩”的方式，找到x的根节点后，将整个路径上的节点都直接指向根节点

3.代码实现

#include
using namespace;
const int N = 100010;
// 存放每个节点的父节点
int p[N];
// n代表数的个数，m代表操作的个数
int n,m;

// 寻找x的根节点+路径压缩
int find(int x){
	if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
	return p[x];
}
int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	//初始化各个节点的父节点
	for(int i = 0; i < n; i++){
		p[i] = i;
	}
	while(m--){
		char op[2];
		int a, b;
		scanf("%s%d%d",&op, &a, &b);
		// 将两个集合进行合并
		if(op[0] == 'M') p[find(a)] = find(b);
		// 询问两个数是否在同一个集合中
		else{
			if(find(a) == find(b)) puts("Yes");
			else puts("No");
		}
	}	
	return 0;
}
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4.并查集应用二-连通块中点的数量

4.1题目描述

给定一个包含 n 个点（编号为 1∼n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 m 个操作，操作共有三种：

C a b，在点 a 和点 b 之间连一条边，a 和 b 可能相等；
Q1 a b，询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中，a 和 b 可能相等；
Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量；

4.2 要考虑的问题

每个连通块还是用一个树来表示。
前两项操作与并查集要进行的操作一致，本题需要多考虑一条连通块中点的数量。
另设一个int count[N]，代表每个集合中点的数量。因此在初始化点的父节点时，初始化每个集合中含有的点的数量。

4.3代码实现

#include
using namespace std;

const int N = 100010;

// 存放每个节点的父节点，一共有不超过N个节点
int p[N];
// 存放每个集合中点的大小
int cnt[N];

// 查找每个点的父节点+路径压缩
int find(int x){
	if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
	return p[x];
}

int main(){
	int n, m;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	// 初始化
	for(int i = 0; i < n; i++){
		p[i] = i;
		cnt[i] = 1;
	}
	while(m--){
		string op;
		int a, b;
		cin >> op;
		// 将两个数所在集合合并
		if(op == "C"){
			scanf("%d%d", &a, &b);
			// 只有a,b不在一个连通块里才需要合并
			if(find(a) != find(b)){
				// 一定先合并数量再改变树的结构
				cnt[find(b)] += cnt[find(a)];
				p[find(a)] = find(b);
			}
		}
		// 判断两个数是否在同一集合
		else if(op == "Q1"){
			scanf("%d%d", &a, &b);
			if(find(a) == find(b)) printf("Yes\n");
			else printf("No\n");
		}
		// 询问连通块中点的数量
		else{
			scanf("%d", &a);
			printf("%d\n", cnt[find(a)];
		}
	}
	return 0;
}
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