图的存储 —— 邻接矩阵

图的结构比较复杂，任何两个节点之间都可能有关系。
图的存储分为顺序存储和链式存储。
顺序存储包括邻接矩阵和边集数组，
链式存储包括邻接表、链式前向星、十字链表和邻接多重表。

图的存储 —— 邻接矩阵

邻接矩阵通常采用一个一维数组存储图中节点的信息，采用一个二维数组存储图中节点之间的邻接关系。

【邻接矩阵的表示方法】

无向图、有向图和网的邻接矩阵的表示方法如下所述。

① 无向图的邻接矩阵

在无向图中，若从节点vi 到节点vj 有边，则邻接矩阵 M [ i ][ j ]= M [ j ][ i ]=1，否则 M [ i ][ j ]=0。

例如，一个无向图的节点信息和邻接矩阵如下图所示。

在该无向图中，从节点a 到节点b 有边，从节点b 到节点a 也有边，节点a 、b 在一维数组中的存储位置分别为0、1，则 M [ 0 ][ 1 ]= M [ 1 ][ 0 ]=1。

无向图的邻接矩阵的特点如下：

• 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，并且是唯一的。
• 第i 行或第i 列非零元素的个数正好是第i 个节点的度。上图中的邻接矩阵，第3列非零元素的个数为2，说明第3个节点c 的度为2。

② 有向图的邻接矩阵

在有向图中，若从节点vi 到节点vj 有边，则邻接矩阵 M [ i ][ j ]=1，否则 M [ i ][ j ]=0。

以尖括号表示的是有序对，以圆括号(vi ,vj )表示的是无序对

例如，一个有向图的节点信息和邻接矩阵如下图所示。

在该有向图中，从节点a 到节点b 有边，节点a 、b 在一维数组中的存储位置分别为0、1，因此 M [ 0 ][ 1 ]=1。有向图中的边是有向边，从节点a 到节点b有边，从节点b 到节点a 不一定有边，因此有向图的邻接矩阵不一定是对称的。

有向图的邻接矩阵的特点如下：

• 有向图的邻接矩阵不一定是对称的。
• 第i 行非零元素的个数正好是第i 个节点的出度，第i 列非零元素的个数正好是第i 个节点的入度。上图中的邻接矩阵，第3行非零元素的个数为2，第3列非零元素的个数也为2，说明第3个节点c 的出度和入度均为2。

③ 网的邻接矩阵

网是带权图，需要存储边的权值，则邻接矩阵表示为

其中，wij 表示边上的权值，∞表示无穷大。当i =j 时，wii 也可被设置为0。

例如，一个网的节点信息和邻接矩阵如下图所示。

在该网中，从节点a 到节点b 有边，且该边的权值为2，节点a 、b 在一维数组中的存储位置分别为0、1，因此 M [ 0 ][ 1 ]=2。从节点b 到节点a 没有边，因此 M [ 1 ][ 0 ]=∞。

【邻接矩阵的数据结构定义】

首先定义邻接矩阵的数据结构，如下图所示。

#define MaxVnum 100  //节点数的最大值
typedef char VexType;  //节点的数据类型，根据需要定义
typedef int EdgeType;  //边上权值的数据类型，若为不带权值的图，则为0或1

【邻接矩阵的存储方法】

[算法步骤]

1. 输入节点数和边数
2. 依次输入节点信息，将其存储到节点数组Vex[]中；
3. 初始化邻接矩阵，如果是图，则将其初始化为0；如果是网，则将其初始化为∞；
4. 依次输入每条边依附的两个节点，如果是网，则还需要输入该边的权值。

• 如果是无向图，则输入a b ，查询节点a、b 在节点数组Vex[]中的存储下标i 、j ，令Edge[ i ][ j ]=Edge[ j ][ i ]=1
• 如果是无向网，则输入a b w ，查询节点a、b 在节点数组Vex[]中的存储下标i 、j ，令Edge[ i ][ j ]=Edge[ j ][ i ]=w 。
• 如果是有向网，则输入a b w ，查询节点a、b 在节点数组Vex[]中的存储下标i 、j ，令Edge[ i ][ j ]=w 。

[完美图解]

一个无向图如下图所示，其邻接矩阵的存储过程如下所述。

① 输入节点数和边数。

4 5

结果：G .vexnum=4、G .edgenum=5。

② 输入节点信息，将其存入节点信息数组。

a b c d

存储结果如下图所示。

③ 初始化邻接矩阵的值均为0，如下图所示。

④ 依次输入每条边依附的两个节点。

• 输入a b ，处理结果：在Vex[]数组中查找到节点a 、b 的下标分别为0、1，是无向图，因此令Edge[0][1]=Edge[1][0]=1，如下图所示。
  

• 输入a d ，处理结果：在Vex[]数组中查找到节点a 、d 的下标分别为0、3，是无向图，因此令Edge[0][3]= Edge[3][0]=1，如下图所示。
  

• 输入b c ，处理结果：在Vex[]数组中查找到节点b 、c 的下标分别为1、2，是无向图，因此令Edge[1][2]= Edge[2][1]=1，如下图所示
  

• 输入b d ，处理结果：在Vex[]数组中查找到节点b 、d 的下标分别为1、3，是无向图，因此令Edge[1][3]= Edge[3][1]=1，如下图所示
  

• 输入c d ，处理结果：在Vex[]数组中查找到节点c 、d 的下标分别为2、3，是无向图，因此令Edge[2][3]= Edge[3][2]=1，如下图所示
  

在实际应用中，也可以先输入节点信息并将其存入数组Vex[]。在输入边时直接输入节点的存储下标序号，这样可以节省查询节点下标所需的时间，从而提高效率。

[算法实现代码]

void CreateAMGragh(AMGragh &G){
	int i , j ;
	VexType u , v;
	cout << "请输入节点数：" << endl;
	cin >> G.vexnum;
	cout << "请输入边数：" << endl;
	cin >> G.edgenum;

	cout << "请输入节点信息：" << endl;
	for(int i = 0 ; i < G.vexnum ; i ++){ //输入节点信息，将其存入节点信息数组
		cin >> G.Vex[i];
	}
	for(int i = 0 ; i < G.vexnum ; i++){ //初始化邻接矩阵的所有值为0，如果是网，则初始化其邻接矩阵为无穷大
		for(int j = 0; j < G.vexnum ; j ++){
			G.Edge[i][j] = 0;
		}
	}
	cout << "请输入每条边依附的两个节点：" << endl;
	while(G.edgenum --){
		cin >> u >> v;
		i = locatevex(G , u);  //查找节点u 的存储下标
		j = locatevex(G , v);  //查找节点v 的存储下标
		if(i != -1 && j != -1){
			G.Edge[i][j] = G.Edge[j][i] = 1;  //将邻接矩阵设置为1
		}
	}
}

【邻接矩阵的优缺点】

优点：

• 快速判断在两节点之间是否有边。在图中，Edge[i ][j ]=1，表示有边；Edge[i ][j ]=0，表示无边。在网中，Edge[i ][j ]=∞，表示无边，否则表示有边。时间复杂度为O (1)。
• 方便计算各节点的度。在无向图中，邻接矩阵第i 行元素之和就是节点i 的度；在有向图中，第i 行元素之和就是节点i 的出度，第i列元素之和就是节点i 的入度。时间复杂度为O (n )。

缺点：

• 不便于增删节点。增删节点时，需要改变邻接矩阵的大小，效率较低。
• 不便于访问所有邻接点。访问第i 个节点的所有邻接点时，需要访问第i 行的所有元素，时间复杂度为O (n )。访问所有节点的邻接点，时间复杂度为O (n^2 )。
• 空间复杂度高，为O (n^2 )。

在实际应用中，如果在一个程序中只用到一个图，就可以用一个二维数组表示邻接矩阵，直接输入节点的下标，省去节点信息查询步骤。有时如果图无变化，则为了方便，可以省去输入操作，直接在程序头部定义邻接矩阵。
例如，可以直接定义图的邻接矩阵如下：

int M[m][n] = {{0,1,0,1} , {1,0,1,1} , {0,1,0,1} , {1,1,1,0}};