动态规划- 背包问题总结（一）

什么是动态规划

动态规划通过额外的空间将已经搜索过的相似的结果（指某些具有相同性质解的集合）用一个数组存起来，所以DP中的状态转移看上去是某两三个值之间的推导，其实是某两三个集合之间的状态转移！

常见的背包模型

1. 01背包问题
2. 完全背包问题
3. 多重背包问题
4. 分组背包问题

01背包问题

典型题例：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

示例 ：

输入：第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积
     接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

思路

代码：
朴素做法：

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <=n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];  //所有不选i的集合(左边集合)
            //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i -1][j - v[i]] + w[i]);
        }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

空间优化-等式变形

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        for (int j = m; j >= v[i]; j --) 
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); 


    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

完全背包问题

典型题例：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
示例 ：

输入：第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
     接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出：
10

思路

代码：
朴素做法

#include 
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N][N];
int v[N], w[N];

int main(){

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++){

            f[i][j] = f[i -1][j]; //先算前1~i-1

            if (j >= v[i]) 
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

优化

#include 
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N];
int v[N], w[N];

int main(){

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++)
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

传送门：动态规划- 背包问题总结（二）

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