矩阵上下翻转

性质：将 $n$ 阶行列式 $D$ 上下翻转得到 $D_1$ 后，$D_1=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$。

证明　设 $n$ 阶行列式 $D=det(a_{ij})$，把 $D$ 上下翻转得
D 1 = ∣ a n 1 ⋯ a n n ⋮ ⋮ a 11 ⋯ a 1 n ∣ D_1 =

|an1⋯ann⋮⋮a11⋯a1n|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣∣an1⋮a11⋯⋯ann⋮a1n∣∣∣∣∣$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{n1}& \cdots & a_{nn}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{11}& \cdots & a_{1n}\end{array}\right|$$

D1​= ​an1​⋮a11​​⋯⋯​ann​⋮a1n​​ ​
将 $D$ 上下翻转，即对换行列式 $D$ 中的第 $i+1$ 行和第 $n-i$ 行，其中 $0\le i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$。当 $n$ 为偶数，即 $n=2m(m\in N)$ 时，对换了 $m=\frac{n}{2}$ 次；当 $n$ 为奇数，即 $n=2m+1(m\in N)$ 时，对换了 $m=\frac{n-1}{2}$ 次。

因为对换行列式的两行行列式变号，所以：

• 当 $n$ 为偶数时，$D_1=(-1{)}^{\frac{n}{2}}D$；因为此时 $n-1$ 为奇数，所以 $\frac{n}{2}\times (n-1)$ 的奇偶性与 $\frac{n}{2}$ 相同，于是有 $D_1=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$。
• 当 $n$ 为奇数时，$D_1=(-1{)}^{\frac{n-1}{2}}D$；因为此时 $n$ 为奇数，所以 $\frac{n-1}{2}\times n$ 的奇偶性与 $\frac{n-1}{2}$ 相同，于是有 $D_2=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$。

综上所述，$D=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$ 得证。