矩阵与线性变换

定义（线性变换）　$n$ 个变量 $x_1,x_n,\cdots ,x_n$ 与 $m$ 个变量 $y_1,y_2,\cdots ,y_m$ 之间的关系式
$$\{\begin{array}{l}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots a_{1n}{x}_n\\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots a_{2n}{x}_n\\ \cdots \\ y_m=a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots a_{mn}{x}_n\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
表示一个从变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 到变量 $y_1,y_2,\cdots ,y_m$ 的线性变换，其中 $a_{ij}$ 为常数，线性变化的系数 $a_{ij}$ 构成矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$。

给定了线性变化，它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定。反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。因此，可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。

利用矩阵的乘法，线性变化 $(1)$ 可记作
$$\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(1’)}$$
其中
$$\mathbf{A}=(a_{ij}),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right)$$
这里，列向量 $\mathbf{x}$ 表示 $n$ 个向量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，列向量 $\mathbf{y}$ 表示 $m$ 个变量 $y_1,y_2,\cdots ,y_m$。线性变化 $(1^{\prime })$ 把 $\mathbf{x}$ 变成 $\mathbf{y}$，相当于利用矩阵 $\mathbf{A}$ 去左乘 $\mathbf{x}$ 得到 $\mathbf{y}$。